Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

Description

Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

1 Terminale S3 SpécialitéDS de Mathématiques n° 4

23 février 2012

Exercice 3 (5 points) Cet exercice ne concerne que les élèves suivant la spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangleABCrectangle isocèle de sommet A et de sens direct uuu uuu p ( AB,AC ! 1 2 c’est-à-dire tel que. On noteA’,B’,C’ les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB]. p 2 u1BA' SoitR la rotation de centreA’etet d’angleT la translation de vecteur. f 1 RoT g 1 ToR On oseet .

f ( C ¢ ! g ( B ¢ ! 1.a) Détermineret . f ( C ¢ ! 1RoT ( C ! T ( C ¢ ! 1 C ¢¢Û C C ¢1 B ¢¢ A BA ¢1 C B ¢ ·: ord’après la propriété des milieux,

f ( C ¢ ! 1R ( C ! ¢¢1 R ( B ! 1¢ B C ¢ 1 ¢ B donc .. R ( B ¢ ! 1 C A ¢ B A ¢ C car estun carré de sens direct. f ( C ¢ ! 1 C Finalement cequi signifie queC’ est invariant parf.

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2 uuu uuuu p R ( B ¢ ! 1 B ¢¢Û ( AB,A ¢ B ! 1¢¢ et AB 1 AB ¢ g ( B ¢ ! 1ToR ( B ! B ¢¢1 C 2 ·.: donc T ( B ¢ ! ¢1 T ( C ! 1¢ B . g ( B ¢ ! 1 B Finalement cequi signifie queB’ estinvariant parf.

b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques def et deg. f etg sont des déplacements (composées de déplacements) admettant un point invariant. p 2 fet g sontdonc des rotations d’angleet de centres respectifs C’ et B’.

%1%1 f h1gof 2.la transformation réciproque dea) Soitf. et Quelle est la nature de la transformationh. p %1 % f 2  estla rotation de centreC’donc et d’angleh est la composée de deux rotations de d’angles

p p % 2 2 respectifs et. La somme des angles est nulle, par conséquenth est une translation.

h ( A ! b) Détermineret caractériserh. %1%1 h ( A ! 1 ( gof ! ( A ! 1g ( f ( A ! ! 1g ( A ¢ ! 1C . AC hest donc la translation qui transforme le point A en le point C, c’est doncla translation de vecteur

M ¢1 f ( M ! M ¢¢1 g ( M ! c) SoitM un point quelconque du plan. On poseet . M ¢ ACM Quelle est la nature du quadrilatère? % 1 %1%1 ¢¢ ¢¢ M ¢¢1 g ( M ! M 1 f ( M ¢ ! M1g ( f ( M ! ! 1 ( gof ! ( M ! 1h ( M ! M ¢ M ¢1¢ AC or doncainsi . Cette égalité vectorielle caractérise un parallélogramme. M ¢ ACM Le quadrilatèreest un parallélogramme.

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