Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

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Préparation du ds1 de mercredi 28
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Mathématiques Préparationpour le devoir du 28 Septembre 2011Terminale S Exercice 1: QCM L'exercice comporte 4 questions indépendantes. Pour chacune d'elles, 4 réponses sont proposées, une seule est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point et l'absence de réponse n'entraîne aucune pénalité. Vous justifierez à l'écrit votre choix. Énoncé: Proposition1 Proposition2 Proposition3 Proposition4 24i Le point M(Z) est sur Z=Z Z est un imaginaire pur. 2 Z= Z=i le cercle 2−i 3 trigonométrique. Z=  3−i Le point M d'affixe Z est surLe point M d'affixe Z²Un argument deUn argument de Z est −5  est sur l'axe desle cercle de centre O et de Z est ordonnées. 6 6 rayon  2 ∣ ∣= z Vérifie z z6 2i . 8−88−8 −2i−2i2i2i L'écriture algébrique de z est: 3333 A tout nombre complexe z≠2 droite Unecercle UneUn cercle privé d'undroite privée d'un point, Un on associe le nombre complexe z' tel point. z−4i z '= que .L'ensemble des z2 points M d'affixe z tel que z' est un réel est: Exercice 2: x∈ℝ∖ {1} On considère la fonction ƒ définie, pour toutpar: 9 fx=x3 x−1   On désigne Cƒ sa courbe représentative dans un repère O ; i ;j . 1. Déterminerles limites de ƒ aux bornes de son ensemble de définition. y=x3∞ −∞ 2. Démontrerque la droited'équation estasymptote oblique à Cƒ enet . x−4x2 x∈ℝ∖ {1} f 'x= 3. Calculerla fonction dérivée ƒ' de ƒ et démontrer que, pour tout, . x1² 4. Endéduire les variations de ƒ. x=0 5. Déterminerune équation de la tangente T à Cƒ au point d'abscisse 0 . Exercice 3: Partie A: [0;] On définit surles fonctions ƒ, g et h par: fx=x−sinx x² gx=−1 cosx 2 3 x hx=−x sinx 6 1. Etudierle sens de variation de ƒ et en déduire son signe. 2. Reprendrela question 1 pour la fonction g et la fonction h. 3 x [ 3. Endéduire que pour tout x de 0;] , x− sinxx . 6 Partie B: On pose, pour tout n de IN*: 1 2n u=sin sin ...sin  n n² n²n² . 1 2n v=  ... n n² n²n² uv 1. Déduirede la partie A que, pour tout n de IN*, n n . 3 33 4 2. Justifierque, pour tout n de IN*, 12...nn . En déduire, à l'aide de la partie A que, pour tout n de IN*, 1 1 v− ×u n n . 6n² 1 limv= n u 3. Montrerque 2 . En déduire que la suite n converge. n∞