Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Avec correction. Fonctions-proba
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale STL CH

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Extrait

DS N°4MATHEMATIQUES TERMSTLCH-TERM-GMEF 2010-2011

Exercice14:stniop m  Unjeu consiste à miser d’abordeuros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s’allume  alorsau hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s’allumer.  Onconvient que : R B R J R B R J B R J R B R R V R B R R B R J R R R V R R R R désigne la couleur rouge J la couleur jaune B la couleur blanche V la couleur verte.

 •Si une case rouge s’allume, l’organisateur du jeu ne rendrien au joueur. m  •Si une case blanche s’allume, l’organisateur du jeu rend la mise deeuros au joueur.  •Si une case jaune s’allume, l’organisateur du jeu donne 5 euros au joueur.  •Si une case verte s’allume, l’organisateur du jeu donne 8 euros au joueur.

1. On considère dans cette question que m 1 1 . Soit X la variable aléatoire représentant le gain relatif du  joueur,obtenu en tenant compte de la mise initiale.  a. Déterminer les valeurs prises par X .  b. Déterminer la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 2.  a.Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X à l’aide d’un tableau.  b. calculer l’espérance mathématique, puis conclure

m 3. On considère dans cette question queest un nombre positif quelconque. m  Quelledevrait être la misepour que le jeu soit équitable ? Exercice 2 : 5 points

 Ondonne ci-dessous les variations d’une fonction f , définie et dérivable sur ¡ , et on nomme C  Sareprésentation graphique dans un repère orthonormé (O;i;j ) . x % 2 4 5 0 #¥ #¥  31 f(x) %2%1

 Répondreen justifiant, par VRAI ou FAUX , aux questions suivantes .

x 1°. Pour tout réel, f(x)³ %2 . 2°. L’équation f(x)1 % . 3 ad met au moins une solution dans ¡ 3°. L’équation f(x)12 ; 4 ] .au moins une solution dans [1 admet x 4°.a. pour tout réel, f'(x)³0 .  b. f'(1)00 limf(x)1 %¥ 5°. a.. x| %5 6°.a. La courbe C admet :

· ··  Uneasymptote .Deux asymptotesAucune asymptote

 b.On sait que f'(2)1 Une équation de la tangente à 0 . C au point d’abscisse 2 est : · y13·y13(x%2)·y13x%2

Exercice311:stopni 2 x%4x#7 f  Onconsidère la fonctiondéfinie r ]1 ;#¥ : et [ par on appelle f su f(x)1 x%1  sacourbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j ) duplan d’unité graphique 2cm.

limf(x) 1° Calculer x|1 ) ?.Que peut-on en déduire pour la courbe ( x21 c a cx 2° a)Montrer qu’il existe trois réels, b que pour tout réeldistinct de 1 :et tels f(x)1ax#b# x%1 b) Calculer la limite de f en +¥.

c) Montrer que la courbe ( f ) admet une asymptote oblique (D) que l'on précisera.  Etudierla position de ( f ) par rapport àD

3°. Etudier les variations defpuis dresser son tableau de variations

4° Soit D la droite d’équation : y13 .  Déterminerles coordonnées des points A et B intersections de f avec la droite D.  Aétant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.

T T 5° Déterminer les équations réduites des tangentes ( A ) et ( B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de  lacourbe ( f ).

T T 6° Construire dans le même repère orthonormé (O;i;j droites () les A ) et ( B ) la droite ( D ) et ]1 ;#¥[  lacourbe f .dans l’intervalle

Exercice 1 1. a.L’issue Rouge conduit à une perte de 1 (X1 %(1) ; L’issue Blanche conduit à une perte de 0X10) .  L’issueJaune conduit à un gain de 5 −1 (X1 L’issue Verte conduit à un gain de 8 −1 (4) .X17) b.Le gain de 4 ( correspond à une sortie Jaune ; or il y a 4 cases jaunes sur 30 ) ; 4 218 36 1  donc p ( X14 ! 1 1 a de même. On p ( X1 %1 ! 1 1 . Et p ( X10 ! 1 1 . 30 1530 530 5 2 1  Ilen résulte que p ( X17 ! 1 1 . D’où le tableau : 30 15 X1 x X1 %1 X 1 0 X14 X17 i p ( X1x ! 2 13 1 i 5 515 15 4 3 12 1%9#0#8#7 6 E(X)1x´p ( X1x ! 1 %1´ #0´ #4´ #7´ 11 10, 4 å i i 5 5 15 1515 15 1 2. Le tableau devient : X1 x X1 %q X 1 0 X15%q X18%q i p ( X1x ! 3 12 1 i 5 515 15  Lejeu est équitable si l’espérance mathématique est nulle ,soit 4 3 12 1 1 ´X1x1 %q´ #´ #q% ´(8q) 0 å E(X)x i p i 5)0 (# % ´1 ( ! 5 515 15 1 %9q#10%2q#8%q18 1%2q18  Soit 10Û 10Û18%12q10Ûq1 11, 5 15 1512 Exercice 2 2 2 limx%4x#711%4#714 ü limx%4x#711%2 5#4 1 ü % # x|1 ï |x1 ï Þlimf(x)Þ1 %¥limf(x)1 #¥ ý ý 1°) % # % # x|1|x1 limx%110 limx%110 % ï # ï x|1 þ |x1 þ 2 2 æ x%4x#7 ö x pourx¹0, limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'oùlimf(x)1 #¥ ç ¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x x%1x è ø 2 2 æ x%4x#7 ö x limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'oùlimf(x)1 %¥ ç ¸ x|%¥ |x%¥ |%x¥ |%¥x|%¥x x%1x è ø 2 4 (x%3)(x%1) 4x²x%3%x3#4#x² 4x%7#4 x%31 1# 1# 1f(x) doncf(x)1x%3# x%1 (x%1)x1%x1%x1%x1 4 4 f(x)% ( x%3 ! 1x%3# ( %x3 ! % 1limx1#¥% 1liÞmf(x) ( x%1 ! %01 x|#¥ |#x¥ x%1x%1 æ 1 ö limx%11 %¥ Þlimf(x)%x1%01.donc la droite d'équationy x13%est asymptote àCeen -¥t + ç ¸ f x|%¥ |x%¥ è 2 ø 5°)Position dela courbe C f par rapport à l’asymptote (D’): x%1 <0 si et seulement six< 1;x%1 > 0 si et seulement six> 1

4 f(x) (x3) 0sur ] ;1 [ , C f est strictement au dessous de la droite (D) d’équationy = x%3 % % 10 %¥ x % 1

4 et f(x) % (x % 3) 1 2 0 sur1; # ¥ us de la droite (D)d’équationy = x%3 , C f est strictement au dess ] [ x % 1 (2x%4)(x%1) (%x² 4%x7)#1´2x² 2%x4x%4#x²%4x#7%x² 2x%3 f'(x)1 11 3) (x%1)² (x%1)² (x1%)²  f’(x)est du signe de x² % 2x % 3 car (x%1)²20 sur ]1 ;+ ¥[.  Calculonsles racines du polynôme x²%2x%3 . 2 % 4 % 2 2 # 4 D 1% %´ ´ % ) 1 4 1 # 2 1 1 6 2 0 ;donc 2 racines réelles :x 1 11 1 % et x 1 3 1 4 1 (( 2)²3 1 2 2 22  Cepolynôme admet deux racines réelles –1 et 3 donc x²%2x% positif à l’extérieur de ces 3 est  racines–1 et 3On en déduit le signe def’(x)puis les variations def 3² % 4 ´ 3 # 7 9 % 12 # 7 4  fadmet un minimum en 3 qui est : f(3) 1 11 1 2 3 % 1 22 x ¥ 1 % 1 3 #¥ f'(x) 0 0 ++ #¥ #¥ % 6 f(x) ¥ ¥  2

4°) 2 2 x%4x#7x%4x#7 2 2 f(x)1 13Ûx%4x#713x%3x%7x#101 x%1x%1 7%3 7#3 D 149%4´1´101922 racines réelles :0 doncx1 12et x1 1 2 2 2 La droite d’équationy =3coupe la courbe représentative defen deux points d’abscisses 2 et 5. A(2 ; 3) et B(5 ;3) sont donc les deux points recherchés.

T 5° déterminons les équations réduites des tangentes ( A ) et ( T B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de la courbe : 2² % 2 ´ 2 % 3 4 % 4 % 3 f' (2) 1 11 % 3 coefficientdirecteurdelatangenteaupointA: (2 % 1)² 1 EquationdelatangenteaupointA:y = f’(2)(x –2 )+ f(2)y =%3(x%(y =) + 3%3x +6 +3 (T A ) :y1 %3x +9

5²%2´5%3 251%0 3%12 3 f'(5)1 11 1 coefficientdirecteurdelatangenteaupointB: (5%16 41)² 16

EquationdelatangenteaupointB:y = f’(5) (x-5) + f(5) 3 315 123 3 y 1 (x % 5) # 3y 1 x % # (T) :y 1 x % B 4 44 44 4 6) Construction de la courbe C f et des droites (D), (T A ), (T B ). y C 5 T A

4

3

2

1

A

T B

B

( D !

x 0 12 3 4 5 6 7 8 Exercice 1 Partie A Une roue de loterie comporte 3 secteurs, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3. Quand on fait tourner la roue, un repère indique le numéro sortant. La probabilité de sortie du numéro 2 est double de la probabilité de sortie du numéro 1, et la probabilité de sortie du numéro 3 est triple de celle du numéro 1. Calculer les probabilités de sortie respectives des 3 numéros. R B R J J R Partie B La roue est maintenant divisée en 6 secteurs égaux ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant le repère. · 2 secteurs sont jaunes (marqués J sur la figure ci-contre) · 3 secteurs sont rouges (marqués R sur la figure ci-contre) · 1 secteur est bleu (marqué B sur la figure ci-contre)  Larègle du jeu est la suivante : pour participer au jeu, le joueur doit miser  unecertaine somme et si le jaune sort, il gagne 20 €, si le bleu sort, il gagne 30 €, si le rouge sort,  ilne gagne rien. 1. Dans cette question, on suppose que la mise est de 10 €. On appelle X  lavariable aléatoire qui à chaque arrêt de la roue associe le gain effectif  (positifou négatif) du joueur. (Par exemple, si le bleu sort, le gain effectifpour le joueur est de 20 €.) 1.a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 1.b. Calculer son espérance mathématique. 2. L'organisateurdu jeu ne souhaite pas que l'espérance de gain du joueur soit positive.  àquelle valeur minimale, exprimée par un nombre entier d'euros, doit-il fixer le montant de la mise ? Exercice 1Sol Partie A

p p Soient: 1 la probabilité de sortie du numéro 1 ; 2 la probabilité de sortie du numéro 2 p p#p#p11p12p p13p 3 la probabilité de sortie du numéro 3.On a 1 2 3 avec 2 1 et 3 1 . 1 1 p#2p#3p11Þ6p11p On en déduit que : 11 1 1 Û 1 1  d'où p 1 1 . 6 6 1 11 p1p1p1 Donc les probabilités de sortie des 3 numéros sont 1 , 2 et 3 6 32 Partie B 1)a) les valeurs prises par X sont -10€, 10€ et 20€. X1x %10 1020 somme i 3 12 1 p(X1 %10)1 1 ; p(X110)1 1 p X1x ( i 1/3 1/6 1 ) 1/2 6 26 3 1 p(X120)1 . Donc la loi de probabilité de la variable aléatoire X peut être résumée dans le tableau 6  suivant: 1 11 5 å b) Son espérance mathématique E(X)1x i p(X1x i ) ( )10 10 20 . soit E X´ 1´ #´ #1 % . 2 3 63 i x 2) soitle montant de la mise 1 1 1x20x30x35 E(X)1 %x´ #(20%x)´ #(30%x)% 1% #% #´ 1x%  . 2 3 62 3 3 6 63 35 35 E(X)£0 ssi  %x# £0 ssi x³ . Donc la valeur minimale que l'organisateur doit fixer pour le 3 3 montant de la mise afin que l'espérance de gain du joueur soit négative est de 12€.