Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau Terminale

Tpautrel

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Préparation au ds2 ts
Fiche d'exercices en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Mathématiques

Préparation au devoir surveillé n°2

Exercice 1: Restitution Organisée des Connaissances

Terminale S

On considère dans cette question la fonction exponentielle ƒ, définie et dérivable sur IR.  x=f−xfx  1. Soitla fonction définie et dérivable sur IR par. Dériver. 'x 2. Onsuppose de plus que ƒ vérifie ƒ' = ƒ. Simplifier alors l'écriture de.  3. Onsuppose en outre que ƒ(0) = 1. En déduire queest une fonction constante que l'on déterminera. 4. Endéduire que ƒ ne s'annule pas sur IR.

Exercice 2: QCM Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Justifier toutes les réponses. −x −e 1. L'expression: a) N'est jamais négative b) Est toujours négative c) N'est négative que si x est positif d) N'est négative que si x est négatif x 2e−1 lim=... x 2. e2 x ∞ 1 − a) 2 b) 1 c) 2 ∞ d) 1 1 z=− i 3. alors: 2 2 4  argz= [2] a) 4 4 argz= [2] b) 4  argz=− [2 ] c) 4 4 argz=0[2 ] d) Exercice 3: Étude des fonctions comportant des exponentielles 2x1 fx=−x e 1. Onconsidère la fonction ƒ définie sur IR par:. a) Étudier le signe de ƒ(x). b) Déterminer le sens de variation de la fonction ƒ. ∞ −∞ c) Donner les limites de la fonction ƒ enet . d) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

2. Onappelle Cƒ la courbe représentative de la fonction ƒ et Cg la courbe représentative de la fonction g x gx=e définie sur IR pardans un repère orthonormal. a) Montrer que Cƒ et Cg admettent la même tangente T au point d'abscisse – 1. b) Tracer sur le même graphique de la feuille annexe les courbes Cƒ, Cg et T.

x1 hx=1x e 3. Onappelle h la fonction définie sur IR par. hx0 a) Étudier le sens de variation de la fonction h et démontrer quepour tout x. b) En déduire la position de Cƒ par rapport à Cg.

m 4. Désigneun réel quelconque et M le point de la courbe Cg d'abscisse m. a) Écrire une équation de la tangente D à Cg en M. b) La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B. Calculer en fonction de m les coordonnées du milieu J du segment [AB]. c) Prouver que J appartient à Cƒ. d) Tracer D et J pour m = 0.

Exercice 4: O ;  u , v   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. z−2 ℂ =z 1. Résoudredans l'équation. On donnera le module et un argument de chaque solution. z−1 z−2 ℂ =i 2. Résoudredans l'équation. On donnera la solution sous forme algébrique. z−1 z ,1 3. SoientM, A et B les points d'affixes respectiveset 2. On suppose que M est distinct des points A et B. z−2 a) Interpréter géométriquement le module et un argument de. z−1 b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation de la question 2. n z−2  =i 4. a)Montrer à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équationdans z−1 3 ℂ , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle. 2 2 z−2 ℂ   =1 b) Résoudre alors dansl'équation .On cherchera les solutions sous forme algébrique. z−1

Exercice 5: On note A le point d'affixe -1 et ƒ l'application qui, à tout point M(z) du plan complexe distinct de A, associe le point 2z−1−i z '= M' d'affixe z' telle que:. z1 1. SoitB le point d'affixe 2 – i. Déterminer l'affixe, sous forme algébrique, de l'image B' de B par ƒ. 2. SoitC' le point d'affixe i. Déterminer l'affixe de l'antécédent C de C' par ƒ. z−iz−1i 3. a)Développer . b) En déduire les points invariants par ƒ. 2 z=xi y x , y∈ℝ 4. Onpose ,avec . a) Déterminer en fonction des réels x et y, la partie réelle et la partie imaginaire de z'. b) Caractériser l'ensemble des points M(z) tels que z' est réel. c) Caractériser l'ensemble des points M(z) tels que z' est imaginaire pur. 5. a)Calculer z' – 2. ∣ b) En déduire q 10 . ue z '−2∣×∣z1∣=  c) Montrer que si M est sur le cercle de centre A et de rayon 1, alors M' est sur un cercle dont on précisera le centre et le raon. y 2 ANNEXE Exercice 3:

-2

-1

1

0

1 x