Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Avec correction. Bac-stg-meca-cfe-pondichery
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale STG GSI, Terminale STG CFE, Terminale STG Merca.

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Baccalauréat STG- Mercatique Pondichéry 13 avril 2011 La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. EXERCICE 1 4 points  Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).  Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.  Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.  Aucune justification n’est demandée.  Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou  une absence de réponse  Suite à l’envoi de bons de réduction par internet, le service marketing d’un magasin de prêt-à-porter  effectue une enquête sur les clients du magasin. Cette enquête a montré que :  • 40% des clients possédaient un bon de réduction.  • 80% des clients munis d’un bon de réduction ont acheté un vêtement.  • 30% des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement.  On interroge au hasard un client sortant du magasin. On appellepla probabilité associée à cette  expérience aléatoire. On considère les évènements suivants :  R: « Le client avait un bon de réduction »  V: « Le client a acheté un vêtement » est l’évènement contraire de l’évènementRet V est l’évènement contraire de l’évènementV. R  On rappelle qu’on note P R V la probabilité de l’évènementVsachant l’évènementR. ( !  La situation peut se traduire par l’arbre ci-dessous : V R

R

V

V

V

1. La probabilité de l’évènement «RetV», noté RÇV est égale à :

 a. 0,32

 b. 0,8 c. 0,4 d. 1,2

2. La probabilité de l’évènementVest égale à :

 a. 0,18

 b. 1,1 c. 0,05 d.0,5

3. Sachant que le client n’avait pas de bon de réduction, la probabilité qu’il n’ait pas acheté  de vêtement est égale à :

 a. 0,42 b. 0,7 c. 0,6 d. 0,9 4. Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu’il ait eu un  bon de réduction est égale à :

P ( VÇR ! P ( V ! ´P ( R ! ( ! P ( V ! ´P ( R ! a. b. c. P R V  d. V P ( V ! EXERCICE 2 6 points Afin d’acquérir un nouveau local, un chef d’entreprise décide de contracter un emprunt d’un montant de 100 000euros. Dans le but d’obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux établissements  bancaires SOMI et PRODI. L’établissement SOMI lui propose de rembourser ce prêt sur 6 ans, en 6 annuités, chacune des annuités,  exprimée en euros, étant un des termes consécutifs d’une suite arithmétique u n de premier terme ( ! u10 0 1500 et de raison a11800 . L’établissement PRODI lui propose également de rembourser ce prêt sur 6 ans en 6 versements à des conditions différentes. Le premier versement annuel est de 18 000 euros ; les remboursements suivants subissent une augmentation de 2% l’an. Pour étudier les deux offres, le chef d’entreprise réalise la feuille de calcul suivante : A B C D E a 1 Année SOMI PRODI b 2 2010 15000 18000 1800 1,02 3 2011 16800 18360 4 2012 18600 5 2013 20400 6 2014 22200 7 2015 24000 8Somme remboursée  Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : offre de l’établissement SOMI 1.Déterminer le taux global d’évolution des annuités entre 2010 et 2015. 2.prétend que le taux d’évolution annuel moyen des annuités entreLe directeur de l’établissement SOMI  2010 et 2015 est de 12%. A-t-il raison? Justifier la réponse. 3.Quelle formule a été entrée dans la cellule B3 et recopiée vers le bas pour compléter la plage de cellules  B4 : B7 ? Partie B : offre de l’établissement PRODI 1. a.Que signifie le nombre 1,02 inscrit dans la cellule E2 ?  b.Chacune des annuités de l’offre PRODI, exprimée en euros, est un des termes consécutifs d’une suite ( v ! v1 ( v ! n avec 0 18000 . Quelle est la nature de la suite n ? Justifier la réponse. 2.Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d’obtenir le contenu  des cellules de la plage C4 : C7 ? Partie C : comparaison des deux offres 1. Quelles formules faut-il entrer dans les cellules B8 etC8 pour obtenir les sommes remboursées aux  établissements SOMI et PRODI ? 2. Calculer la valeur affichée dans la cellule B8 et celle affichée dans la cellule C8  (on arrondira les résultats à l’euro). Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant : ( u ! – La sommeSdesn+ 1 premiers termes d’une suite arithmétique n est donné par : æ u#u ö 0n 0 1 2 .....# n 1 ( #1´  S1u#u#u#.u n . ! ç ¸ è 2 ø – La sommeSdesn+1 premiers termes d’une suite géométrique u n de raisonq(q6= 1) est donnée par : ( ! n#1 æ 1%q ....  S1u 0 #u 1 #u 2 #..#u1u 0 ´ . n ç ¸ 1%q è ø 3. En déduire celui des deux établissements qui offre au chef d’entreprise la solution la plus avantageuse. EXERCICE 3 5 points Voici la cote ARGUS d’une voiture d’occasion :

Année de mise en circulation 2009 2008 2007 2006 2005 2004 Âge de la voiture en ann x 0 1 2 3 4 5 ée i 36300 32300 27900 25000 22400 20600 Cote argus en euros y i  (Source : «Occasions Mag », juillet-août-septembre 2010) ( ; ! Ci-dessous, on a représenté dans un repère le nuage de points de la série statistique x i y i · On notexetde la voiture en années l’â e us en euros .la cote ar y

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x Partie A : premier modèle  On réalise un ajustement affine du nuage de points. 1.Déterminer à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d’ajustement affine deyenx,  par la méthode des moindres carrés, sous la forme y1a x#b . Arrondir les coefficientsaetbau  centième. Pour la suite, on prendra comme équation de la droite (D) : y1 %3174x#35352 . 2.En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de cette voiture mise en circulation  en 2003. 3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse,  sera prise en compte dans l’évaluation.  En choisissant la méthode de votre choix, déterminer l’âge à partir duquel la cote argus de la voiture  sera inférieure à 7 000 euros. Partie B : deuxième modèle  La forme du nuage de points permet d’envisager un ajustement exponentiely=f(x) oùfest la fonction %0,12x#10,5 #¥  définie sur l’intervalle [0; [ par : f(x)1e .  En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de la voiture mise en circulation en  2003. (On donnera une réponse arrondie à l’euro) Partie C : exploitation des modèles  La cote argus réelle de cette voiture mise en circulation en 2003 est de 18 000 euros. 1.Quel ajustement se rapproche le plus de la réalité ? 2.Quel est le pourcentage d’erreur commise avec cet ajustement par rapport à la cote réelle.  On donnera le résultat arrondi à 0,1%. EXERCICE 4 5 points  Soitf [1 ;8 la fonction définie sur l’intervalle ] parf(x)130 ln(x)#10%10x . 1.On admet que la fonctionfest dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f fonction dérivée. ' sa 30%10x  Montrer que, pour tout réelxde l’intervalle [1 ; 8], f'(x)1 . x

2.Étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variation de la fonctionf. 3.Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (On arrondira les résultats au dixième).

x 1 2 3  4 5678 f(x6) 11, 4.Représenter graphiquement la fonctionfdans un repère orthonormé.  Unités graphiques : 2cm pour1unité sur l’axe des abscisses 1cm pour1Voir feuille annexe jointeunité sur l’axe des ordonnées.  Chaque jour un artisan fabriquexobjets (xétant compris entre 1 et 8).  Le bénéfice, endizaines d’euros, réalisé pour la vente de cesxobjets est égal àf(x). 5.Combien faut-il produire d’objets pour que le bénéfice soit maximal ?  Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ? 6.Déterminer à partir de quelle quantité d’objets l’artisan travaille à perte.

Annexe exercice 4

y 13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

Solution

en dizaine euros

1

2

3

4

5

6

0,4

0,6

7

Quantités produites

R

R

8

0,8

0,2

0,3

0,7

V

V

V

V

x 9

Exercice 1

1. R Ç V : "Le client avait un bon de réduction et le client a acheté  un vêtement", ce qui correspond à la première branche de l'arbre ( ! 1 ( ! ´ ( ! 1 ´ 1 P RÇV P R P R V32 :0,8 0, 0, 4 réponse b 2. "Le client a acheté un vêtement". ( Ç ! 1  ►Soit le client a un bon de réduction et il achète un vêtement : P R V0, 32  ►Soit le client n'a pas de bon de réduction et il achète un vêtement : P ( RÇV ! 1P ( R ! ´P V10´ 18 ( ! , 6 0, 3 0,1 .doncV1RÇVÈ ( RÇV ! ( ! R  Les événements RÇV et ( RÇV ! sont des événements disjoints et forment une partition de l’univers. ( !

c P ( V ! 1P ( RÇV ! #P ( RÇV ! 10, 32#0,1810, 5  Don :réponse d

3. Sachant que le client n'avait pas de bon de réduction, la probabilité qu'il n'ait pas acheté de vêtement 'après l'arbre : P ( V ! #P V11 doncP ( V ! 11%P V11%0, 310, 7  est égale à, d .réponse b ( ! ( ! R R R R

4. Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu'il ait eu un bon P ( RÇV ! 0, 32 P ( R ! P ( R ! 1 1 10, 64  de réduction est égale à V , qui est égale à : V  :réponse a P ( V ! 0, 5 EXERCICE 2

1 2 3 4 5 6 7 8

A Année 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Somme remboursée

B SOMI 15000 16800 18600 20400 22200 24000 117000

C PRODI 18000 18360 18727,2 19901,744 19483,77888 19873,45446 113546,1773

D a 1800

E b 1,02

Partie A : offre de l’établissement SOMI 24000%15000 A1.Entre 2010 et 2015, le taux global d’évolution des annuités est donné par t1 10, 6 15000  soit 60%. A2.De la première à la sixième année l’annuité a été multipliée par 1,6 ( taux global ). Le taux d’évolution annule moyen des annuités entre 2010 et 2015 est égal à t tel que : 1/n 1/ 5 9, 86% t1 ( 1#t ! %11 ( 1#0, 6 ! %1» soit à peu près . donc il n’est pas 0, 0986 m g  de 12%. Le directeur a tort. A3.La formule entrée en B3 est« = B2 + D$2 » ou « = B2 + $D$2 »ou encore B2+1800 .

Partie B : offre de l’établissement PRODI

B1.a.Chaque année, les remboursements subissent une augmentation de 2%, ce qui signifie que æ 2 ö  chaque année, la mensualité est multipliée par 1# 11, 02 . ç ¸ è 100 ø B1.b.Chaque année, la mensualité est multipliée par 1,02 ; les mensualités payées à l’établissement ( v !  PRODI sont donc les premiers termes d’une suite géométrique n de premier terme v 0 118000

 et de raison 1, 02 .

v1v´ #1 P 1, 02 . B2.On sait que n n our passer d’une cellule de la colonneC(à partir deC2) à la cellule  immédiatement inférieure il faut multiplier par 1, 02 , il faut donc écrire dans la celluleC3:  Une formule entrée en C3 peut être 1, 02 « = C2*E$2 » ou « = C2*$E$2 ». ou =C2* .

Partie C : comparaison des deux offres

C1.Dans la cellule B8 := SOMME ( B2:B7 )et dans la cellule C8 la formuleC8 : =SOMME ( C2:C7 ).

C2.Valeur affichée dans la cellule B8 : Les mensualités remboursées à l’établissement SOMI sont les premiers termes d’une suite arithmétique 1  de premier terme u 0 de raison 1800 .D’après le formulaire, 15000 et æ u#u ö 0n S1u#u#u#......#u1 ( n#1 ! ´ 0 1 2n ç ¸ è 2 ø 15000#24000  La somme des mensualités est égale à : B16´ 1117000 €. 8 2  La valeur affichée dans la cellule B8 est 117000.  Valeur affichée dans la cellule C8 :  D’après le formulaire, la somme des mensualités remboursées à l’établissement PRODI est égale à : n#1 æ 1%q S1u#u#u#......#u1u´ 0 1 2n0 ç ¸ 1%q è ø  Les mensualités sont les premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 18 000 et de raison 6 æ ö 1%1, 02 . La somme des mensualités est d 18000 113546  1, 02 onc égale à : C 8 1 ´ » ç ¸ 1%1, 02 è ø  La valeur affichée dans la cellule C8, arrondie à l'unité, est 113546 € .

C3.On a 113546 0 117000 ,donc l'établissement PRODI offre au chef d'entreprise la solution la plus  avantageuse.

Exercice 3 5 points

Partie A : premier modèle

A1.à l’aide de la calculatrice on obtient : y1 %3174, 29x#35352, 38 .

A2.2003 correspond au rang x16 , donc une estimation de la cote est donnée par y1 %3174´6#35352116308€ . La cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003  est de 16 308 euros.

x A3.est donnée parLa cote argus en fonction de l'âge de la voiture y1 %3174x#35352 .  Pour déterminer l'âge à partir duquel la cote argus de la voiture sera inférieure à 7000 euros, il faut 7000%35352 28352  résoudre l'inéquation suivante : %3174x#35352£7000Ûx³ Ûx³ % »8, 9 . %3174%3174  La première année correspond àxLa première année de mise en circulation d’une voiture= 9.  est 2008.

Partie B : deuxième modèle: %0,12x#10,5 Soit f(x)1e

%0,12´6#10,5 10,5 0%,72 9,78  L'année 2003 correspond à x16 et donc : f(6)1e1e1e»17677€  La cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003 est d'environ 17 677 euros. Partie C : exploitation des modèles

C1.L’ajustement exponentiel est le plus proche de la réalité. 18000%17677 C2.On a : t1 ´100»1, 79 % . Avec cet ajustement le pourcentage d'erreur commise 18000  par rapport à la cote réelle est d'environ 1,8%. y 50000 y = 35972,779 * 0,8895287^x 45000

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

-1

0

-5000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Exercice 4 1 30%10x 1.On a f(x)130 ln(x)#10%10x , donc ;8 ] définie sur [1 f'(x)130´ %101 . x x 2. [1 ;8 Sur l'intervalle ] , x20 . Le signe de f'(x) est donc celui du numérateur 30%10x  On a 30 % 10x 2 0 qui équivaut à % 10x 2 % 30 qui équivaut à x 0 3 Donc :  Si 1 0 x 0 3 , f'(x)20 ; la fonctionf ; 3 [ . est donc croissante sur [1  Si x 1 3 , f'(x)10  Si 3 0 x 0 8 , f'(x)0 la fonction 0 ; f ]3 ;8 ] . est donc décroissante sur  D'où le tableau de variations : x 1 3 8  + 0 ( 3%x ! f'(x 0 ) +  30 ln 3%20 f(x) 0 30 ln ( 8 ! %70 3.Tableau de valeurs :

x

1

2

3

4

5

6

7

8

x

f(x) 0 10,8 13 11,6 8,3 3,8 -1,6 -7,6 5.La fonction f] pour admet un maximum sur l'intervalle [1 ;8 x13 .Le bénéfice est donc maximal  pour 3 objets. Ce bénéfice maximal vaut alors f(3) c'est-à-dire 13 dizaine d’euros environ,  soit 130 euros. 6.A partir de 7 objets, l'artisan travaille à perte, car son bénéfice est négatif.

y 13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

en dizaine euros

1

2

S

3

4

5

6

7

Quantités produites

8

x 9