Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Chatel

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Avec correction. Corrigé amérique nord ts 2010
Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale S

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Terminale Sjuin 2010 Amérique du Nord Exercice 1    L’espace est muni d’un repère orthonormal(O;i,j,k). Les pointsA,BetCont pour coordonnées respectivesA(1, −2, 4),B(−2, −6, 5),C(−4, 0, −3). 1. a.Les pointsA,BetCne sont pas alignés :   On a AB ( %3 ;%4 ; 1 ! et AC ( %5 ; 2 ;%7 ! ; Ces 2 vecteurs n’ayant manifestement pas leurs coordonnées proportionnelles, ne sont pas colinéaires ; Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés ; CQFD !  b.Le vecteur n ( 1 ;%1 ;%1 ! est un vecteur normal au plan (ABC) :    | n.AB11´ ( %3 ! # ( %1 ! ´ ( 4% ! ( #1% ! 1´ 13%4#1%01nÛA^B ;    | n.AC11´ ( %5 ! # ( %1 ! ´2# ( 1% ! ( ´7% ! 15%2%7#01nÛA^C ; Ainsi,n- puisque non colinéaires - du plan (ABC) ;est orthogonal à 2 vecteurs directeurs En conséquence, c’est un vecteur normal au plan (ABC) ; CQFD ! c.Une équation du plan (ABC) : |n1 ;%1 ;%1 ! étant un vecteur normal au plan (ABC) , celui-ci admet une équation cartésienne du type : x%y%z#d10 ; CommeA BC), |(A x%y%z#d10Û1% ( 2% ! 4%d#01dÛ1 ; A A A Une équation du plan (ABC) est donc : x%y%z#110 . 2. a.Une représentation paramétrique de la droite passant par le pointOet orthogonale au plan (ABC) : Soit (D) cette droite ;  (D) admet tout vecteur normal à (ABC) comme vecteur directeur, donc n ( 1 ;%1 ;%1 ! ; x%x1k´1  x1k 0     Î Û 1Û % M ( x;y;z ! ( D ! OM kn  y%y1k ( ´ %1 ! Ûy1k; 0    %z1k´ ( %1 ! z1k%  0   x1k  ite est donc :oùk . Une représentation paramétrique de cette dro  y1 %k   1 %k  b.Les coordonnées du pointO’, projeté orthogonal du pointOsur le plan (ABC) : Le projetéO’deOsur (ABC) est le point d’intersection de (D° avec (ABC) ; Ses coordonnées sont donc solution du système :  1 k1 %  3   x1k  x1k   1     x1 %   y k  1 %  1 % 3  y k   Û Û  ;     z1 % k z1 %k  1      y1    3 x%y%z#110 k% ( %k ! ( %k% ! 1#01      1  z1  3     1 1 1  DoncO'%; ;.    3 3 3  Patrick CHATE1 TerminaleS

  3.On désigne parHle projeté orthogonal du pointOsur la droite (BC). Soittle réel tel queBH1tBC.   BO.BC a. t1 :  2 BC   |( CommeHBC), il existe effectivement un réelttel que BH1tBC ; De là :           2 2 BO.BC 1 Û# 1Û #1 Û1 | BH.BC ( t BC. ! BC ( BO OH ! .BC BOBC t.BC OH.BC tBC t ; CQFD !  2 BC b.Le réeltet les coordonnées du pointH:     2 |Or BO ( 2 ; 6 ;%5 ! et BC ( %2 ; 6 ;%8 ! donc BO.BC172 et BC1104 ;   BO.BC72 9 Et par conséquent, t1 11 ;  2 104 13 BC  9  44 x% ( %2 ! 1 ( ´2% ! x1 %   13 13     9  9  24  744 24  |Ainsi, BH1BC d’où% ( 6 ! 61 %; DoncH% % %.  yÛ% 1 ´  y  ; ;  13 1313  13 13 13    97 z%51 ´ ( %8 ! z1 %    13  13

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Exercice 2 Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

Présentation des données sous forme d’un tableau à double entrée :

 n°1n°2 TOTAL rouges 20%8% 28% vertes 0%72% 72% TOTAL 20%80% 100% 1.On tire une boule au hasard. Probabilité qu'elle soit rouge : On est en face d’une situation d’équiprobabilité ; il vient alors immédiatement que p(R) = 0,28.

2.On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Ç 8 2 p ( 2R ! 20, 08 Probabilité qu'elle porte le numéro 2 : p R (2) == (ou: p ( 2 ! 11 1 ). R 28 7p ( R ! 70, 28 3.Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2.

On effectuentirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne).

a.Probabilité, en fonction denau moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des, d'obtenirn tirages : On est donc en présence d’un schéma de Bernoulli de paramètresnetp= p(RÇ1) = 0,2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges portant le numéro 1 au cours desn tirages ; X suit donc la loi binomiale B(n; 0,2). Soit E l’événement : « obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours desntirages » ; n n Alors p(E) = p( X³11) = 1 – p(X = 0) =%(1%0,2) = 1%0,8 . b.L'entiernpartir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au à cours desntirages est supérieure ou égale à 0,99 : n n Donc p(E)³0,991%0,8³0,990,01³0,8 n ln 0,01³ln(0,8 )ln 0,01³nln 0,8ln 0,01/ln 0,8£n n³21. Exercice 3 non spécialistes   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u,v) . On considère les pointsAd'affixei,Bd'affixe −2ietDd'affixe 1. On appelleEle point tel que le triangleADEsoit équilatéral direct. 2%i Soitfl’application qui à tout pointMd’affixez(¹i) associe le pointM’ d'affixez’ définie par :z'1. iz#1   1 3 1.Le pointEa pour affixe# ( 1#i ! :   2 2   p Puisque le triangleADEsoit équilatéral direct,Eest l’image deDpar la rotation de centreA;et d’angle 3

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Orra pour écriture complexe : p A; 3 p i     1 31 33 1 3 '%z1e ( z%z ! Ûz'1 #i ( z i% ! i# Ûz'1i#z#i# ; A A     2 22 22 2          1 33 11 33 1 E rD, 1 #i#´ #Û 1 ## #i Et puisque1 p ( ! E z D i z E i1      2 22 22 22 2 A; 3          1 33 11 3 Û 1 ##i# 1 # ( 1#i ! ; CQFD ! E     2 22 22 2     2.L’affixe - sous forme algébrique - du pointD’ associé au pointDpar l'applicationf: % % 2z%i 2´1%i( 2i ! ( 1i !2%2i i%1%1 3 D 1 1 11 1%i. D' 2 2 iz#1i´1#1 # 22 2 D 1 1 3. a.Pour tout nombre complexezdifférent dei, ( z'#2i ! ( z%i ! 11 :  2z%i   2z%i#2i ( iz#1 !  ( ' 2i ! ( z i ! 2 ( !( ! # %1  #i  z%i1   z i%  iz#1  iz#1     2z%i%2z#2i i   1 ( z%i ! 1 11 ; CQFD !  i i ( z%i !      b.pour tout pointMd'affixez( ¹i ) :BM'´AM11et u,BM'1 %u,AM#k´2 p oùk : ( !( ! Puisque ( z'#2i ! ( z%i ! 11, par passage aux modules et aux arguments, il vient: | ( z'#2i ! ( z%i ! 11Ûz'% ( 2%i ! ´z i%11 Ûz'z%z´z%11BÛM'A´M1; B A | arg ( ( '#2i ! ( z%i ! ! 1arg ( 1 ! #2k p Ûarg ( z'#2i ! #arg ( z%i ! 10#2 p k     Ûarg ( '%z ! #arg ( z%z ! 12k p Û ( u;BM' ! # ( u;AM ! 12 p k B A     Ûu;BM'1 %u;AM#2k p ( !( ! 4. a.Les pointsDetEappartiennent au cercle (C) de centreAet de rayon 2 : D; (C) | AD1z%z11%i12 donc D A E ; |AE1ADcarADEest équilatéral(cf. 1.) donc(C) b.Construction du pointE’ associé au pointEpar l'applicationf: D’après le 3.b., 1 1 |BD'´AD11⇒BD'1etBE'´AE11⇒BE'1et commeAD=AE,BE’=BD’; AD AE     | u;BE'1 %u;AE ; ( !( ! D’où la construction deE’. 5.La nature du triangleBD’E’ : ·BD’=BE’(cf. 4.b.) ;        · ( BD';BE' ! 1 ( BD';u ! # ( u;BE' ! 1 % ( u;BD' ! # ( u;BE' !        p 1u;AD%u;AE1AE;u#u;AD1AE;AD1 % ; ( !( !( !( !( ! 3 BD’E’équilatéral (indirect) .est donc Patrick CHATE4 TerminaleS

Exercice 4 nx 4e À tout entier naturelnnon nul, on associe la fonctionf n définie surRparf ( x ! 1. n nx e#7   On désigne par C n la courbe représentative de la fonctionf n dans un repère orthonormal (O;i,j) .

Les courbes C 1 , C 2 et C 3 sont données ci-dessous.

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4e Partie A: Etude de la fonctionf 1 définie surRparf ( x ! 1. 1 x e#7 x x 4 4e4e4 1.Pour tout réelx, f ( x ! 1 : f ( x ! 1 11 ; CQFD ! 1 1 % x% 1#7e e#7 x  7  # 1 7e e1#   x  e  2. a.La courbe C 1 admet deux asymptotes : x x xx 4e |lim 4e10etlime#717carlime10; Donc, par quotient,lim10; x x|%¥x|%¥x|%¥ x|%¥ e#7 Donc, puisquelimf ( x ! 10, C 1 la droite d’équation admety0 (c’est-à-dire l’axe des = 1 x|%¥ abscisses) pour asymptote au voisinage de%. %x%x X 4 |lim 1#7e11carlime1lime10; Donc, par quotient, lim14 ; %x x|#¥x|#¥ |X%¥ x|#¥ 1#7e Donc, puisquelimf ( x ! 14, C 1 admet la droite d’équationy= 4 pour asymptote au voisinage 1 x|#¥ de +. b.La fonctionf 1 est strictement croissante surR: %x 4´ %7e %x ( ! 28e ' |f 1 est dérivable surRetf ( x ! 1 %1; 1 2 2 %x%x 1#7e1#7e ( !( ! X' |Commee20pour tout réelX, f ( x ! 20 doncf 1 est strictement croissante surR; CQFD ! 1

c.Pour tout réelx,00f ( x ! 04: 1 %x%x x% 1 4 Il vient successivement : e20⇒7e20⇒1#7e21⇒00 01⇒00 04 %x%x 1#7e1#7e 4 Soit, 00f ( x ! 1 04 ; CQFD ! 1 %x 1#7e 3. a.Le pointI 1 de coordonnées (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe C 1 : 4 4 4 4 # # % ( ln 7%x ! ( %ln 7x ! # % ln 7#x%ln 7x% f ( ln 7%x ! #f ( ln 7#x ! 1 1 1#7e1#7e1#7e1#7e 1 11 2 22 %x x x%x 1#e#1#e ( !( ! 2 22#e#e 1 #12´ 12´ 12 ; % x%x 1 1 x x ln ln 1#e1#e 1#e#e#1 ( !( ! x%x 7 7 1#7e´e1#7e´e f ( ln 7%x ! #f ( ln 7#x ! 1 1 Puisque12, le pointI 1  (ln7,2) est un centre de symétrie de la courbe C 1 ; 2 CQFD ! b.Une équation de la tangente T 1 à la courbe C 1 au pointI 1 : ' On a T:y1f ( ln 7 ! ( x%ln 7 ! #f ( ln 7 ! ; 1 11 1 %ln 7 28´ 4 4 4 ' 28e 7 Or f ( ln 7 ! 1 112 etf ( ln 7 ! 1 11 11; 1 1 %ln 722 2 1 %ln 7 1#7e 1 2   1#7e 1#7´ ( ! 1#7´   7  7  D’où T:y1x%ln 7#2 . 1 c.Tracé de la droite T 1 : cf. graphique ci-après.

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