Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STI

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Extrait

Baccalauréat STI-Métropole 22 juin 2010-Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points  Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O;u,v) .  L’unité graphique est égale à 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et p d’argument 2 3 1.Soit P(z)1z%27 , oùzdésigne un nombre complexe. 2  a.Vérifier que P(z)1(z%3)(z#3z#9) . P(z)10  b.Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation 2.On considère les points A, B et C d’affixes respectives : 3 3 3 3 3 3 z13 A z1 % #i  et z%1 % i B C 2 2 2 2  a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes iq z  b.Écrire le nombre complexe C sous la forme re oùrest un nombre réel strictement positif et q p p un nombre réel compris entreet .  c.Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle , dont on précisera le centre et le rayon.  d.Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère (O;u,v) p 3.Le point D est l’image du point C par la rotation de centre O et d’angle % . 3 z z1 %3  On appelle D l’affixe du point D. Montrer que D , puis placer le point D sur la figure précédente. z z#313 4.Soit F l’ensemble des points M vdont l’affixe érifie l’égalité: .  a.Vérifier que les points O, B et C appartiennentàl’ensemble F .  b.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse,  sera prise en compte dans l’évaluation.  L’ensemble F est l’image du cercle ; par certaines transformations du plan.  En citer une et préciser seséléments caractéristiques. EXERCICE 2 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque bonne réponse rapporte1point et chaque mauvaise réponse enlève0,5point. Une absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à0. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie. Partie A Deux machines A et B produisent un même type de pièce. On a prélevé3 000 unités sortant de la machine A et 2 000 de la machine B. Ces pièces peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de couleur, notéC, et un défaut de taille, notéT. Pour la machine A, 2 % des pièces présentent uniquement le défaut C, 5 % uniquement le défaut T et 1 % les deux défauts. Pour la machine B, 3 % présentent le seul défaut C, 4% le seul défaut T et 2 % les deux défauts. On pourraéventuellement se servir du tableau ci-dessous

A B Total

C seul

60

T seul

C et T 30

ni C ni T

Total 3000 2000 5000

 On prend au hasard une pièce parmi les 5 000 prélevées ; toutes les pièces ont la même chance d’être  choisies. 1.La probabilitéque la pièce soit fabriquée par la machine A est : 2 3 3 2  a. b. c. d. 3 5 2 5 2.La probabilitéque la pièce présente uniquement le défaut C est :  a.0,024b.0,02c.0,03d.120 3.La probabilitéque la pièce présente le défaut T est : 23 3 7 1  a. b c. d. 500 50 500 20 4.La probabilitéque la pièce présente au moins l’un des deux défauts est :  a.0,014b.0,06c.0,038d.0,084 Partie B  L’entreprise décide de commercialiser les 5 000 pièces prélevées : · Les pièces présentant les deux défauts sont invendables et sont détruites ; · Les pièces présentant uniquement un défaut de taille sont bradées au prix de 10 € chacune ; · Celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25€ chacune ; · Enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30€ chacune.  Sachantque le coût de fabrication d’une pièce est de 10€, on considère la variable aléatoire X égale au  bénéfice fait par l’entreprise sur chaque pièce, expriméen euros.

5.L’entreprise peut espérer un bénéfice moyen, expriméen euros, de :  a18,68b18,54c18,89d18,75

PROBLÈME 10 points

Partie A : exploitation d’un graphique La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonctiongdéfinie sur R 3 2 par : g(x)1x%x#ax#b oùaetbdésignent deux nombres réels. g On suppose strictement croissante sur R . Cette courbe coupe les axes de coordonnées aux points A(1 ; 0) et B(0 ; −2). La droite en pointillés est la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. Elle coupe l’axe des ordonnées au point C(0 ; −3).

1. Lireg(1) sur le graphique.  En déduire une relation entre a et b.

2. Donner la valeur de g) . '(1  Écrire alors une relation vérifiée para.

3. À l’aide des deux premières questions,  déterminer les valeurs deaetb.

-1

y 2

1

0

-1

-2

-3

1

2

g(x) 4.surDonner le signe de R . 3 2  Dans la suite, on admettra que : g(x)1x%x#2x% 2 . Partie B : étude d’une fonction 4 2  On considère maintenant la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 5] par : f(x)14 lnx#x%2x#1# x  Soit C sa courbe représentative dans un repère ( O;i,j ! du plan. limxlnx10 1. On admet que . x|0 1 3 2  En remarquant que, pour toutxde l’intervalle ]0 ; 5], f(x)1 ( 4xlnx#x%2x#x#4 ! , x

x

 déterminer la limite de la fonctionfen zéro et interpréter graphiquement le résultat.

2. Montrer que pour toutxde l’intervalle ]0 ; 5],f′(x) = 2g(x) oùgest la fonction définie dans la partie A. f  En déduire le signe de f'(x) , puis dresser le tableau de variations de la fonction .

Partie C : position relative de deux courbes  Dans la question 1. on demande de conjecturer des résultatsàpartir de la calculatrice ; dans la question 2.  on demande de prouver ces résultats.

1. Sur l’écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe C représentative de la fonction f , ainsi que 4  l’hyperbole ¡ d’équation y1 . x  Les résultats attendus dans cette question seront obtenus à partir de la lecture d’écran. a. Faire un schéma reproduisant l’écran obtenu en précisant la fenêtre utilisée. b. Les courbes C et 9 semblent avoir un point commun. Donner ses coordonnées. c. Préciser la position relative de C par rapport à 9 . 4 2. On considère la fonctionddéfinie sur l’intervalle ]0 ; 5] par : d(x)1f(x)% . x précédente, proposer une solution de l’équation d(x)10 t, à l’aide d’un calcul, a. À l’aide de la question e  opérer une vérification. b. Calculer d'(x) et en déduire le sens de variation de la fonction d. c. En déduire le signe ded(x) sur l’intervalle ]0 ; 5]. d. La position de C par rapport à ¡ précisée à la question 1. c. est-elle confirmée ?

Partie D : calcul d’aire 1. On considère la fonctionHdéfinie sur l’intervalle ]0 ; 5] par : H(x)1xlnx%x .  Montrer queHest une primitive de la fonction ln sur l’intervalle ]0 ; 5]. 2. Calculer l’aire du domaine compris entre la courbe C , la courbe 9 et les droites d’équations respectives 1 x1 etx= 1. Le résultat sera donné en unités d’aire. 2

EXERCICE 1 2 3 2 2 3 1. a (z%3)(z#3z#9)1z#3z#9z%3z%271z2%7 . 2 2 P(z)10Û(z%3)(z#3z#9)10Ûz%310ou z#3z#910Ûz13ouD 19%361 %27  b. %3%3 3i3%3#3i z1ou z1 1 1 2 2 2 2 æ ö æ %3 ö 3 3 9 27 2. a z# 11 # 1 913 B ç ¸ ç ¸ è 2 ø 42 4 è ø z z z C et B sont deux nombres complexes conjugués ils ont le même module donc z C et B sont deux z13  nombres complexes conjugués ils ont le même module donc C .  Soit q l’argument de z B % 3 1 3 1 2p2p % q1 z  cosq1 1  sinq1 1 dedonc l’argument B est 2 3 2 2 2 3 3 z z z C et B sont deux nombres complexes conjugués leurs arguments sont opposés, l’argument de C est %2p 3 %2ip/ 3  b) z13e C z1z1z1  c) A B C 3 donc A,B,C sont situés sur un cercle de centre O et de rayon 3 d) figure %ip/ 3%2ip/ 3i%p/ 3ip% 3) z1z´e13e´e13e1 %3 D C 10 3 3z#313 4) a) z 0 , donc z 0 # 1 et 0 . 2 2 æ ö %3#3 3i3#3 3i æ 3 ö 3 3 9 27 z#31 #31  et z#31 # 11 # 913 B B ç ¸ ç ¸ 2 2 è 2 ø 42 4 è ø 2 2 %3%3 3i3 3%3i 3 æ 3 3 ö 9 27 æ ö z#31 #31  et z#31 # % 1 # 1913 C C ç ¸ ç ¸ 2 2 è 2 ø 2 4 4 è ø Les point O,B,C appartiennent à F b) Translation de vecteur AO EXERCICE 2

C seul T seul C et T ni C ni T Total A 60 150 30 2760 3000 B 60 80 40 1820 2000 Total 120 230 70 4580 5000 3000 3 120 300 3 1. p1 1  2. p1 1 3. 0, 024 p1 1 1 . 0, 06 1 2 3 5000 5 5000 5000 50 420 4. p1 10, 084 4 5000 Partie B1120´ ( 25%10 ! #230´ ( 10%10 ! #70´ ( 0%10 ! #4580 ( ´30 1%0 ! 912700 B92700 Donc 1 1 l’entreprise peut espérer un bénéfice moyen de 18,54 €. 18, 54 5000 5000 Problème

Partie A 1) g(1)10 , donc 1%1#a#b10 d’oùa#b10 2 2) g'(1)13 g'(x)13x%2x#a 3  donc %2#a13 d’oùa12 3. a # b 1 0 Û b 1 % a 1 % 2 4) Sur ]% ¥ , ;[1 gest strictement négative En x 1 1 g est nulle . Sur [1;#¥[ gest strictement positive partie B 3 2 lim 4xlnx14 limxlnx10 limx%2x#x#414 1). ; ( ! , x|0|x0 x|0 3 2 1 lim 4xlnx#x%2x#x#414  donc ( ! lim ( addition des limites ) et 1 #¥ et par x|0 x|0 x limf(x)1 #¥  conséquent x|0 La courbe représentative defadmet l’axe des comme asymptote (droite d’équation x10 ) 3 2 3 2 2 ( x%x#2x%2 ! 4 4 4x#2x%2x%4 2g(x) 2) f'(x)1 #2x%2% 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x 2  Le signe de f'(x) est le même que celui de g(x) car est toujours positif x x 0 1 5 f'(x) 0 + # #¥ ln 5  4 16,8 f(x)  4

b) les courbes semblent avoir le point de coordonnées  (1 ; 4 ) en commun. c) sur ]0;1[ C semble en dessous de 9 .

2) a) 1 semble être une solution de l’équation d(x)1 vérifions en calculant 0 . d) : (1 4 d(1)1f(1)% 14%410 1 4 4 4 4 d'(x)1f'(x)# 1 #2x%2% # 2 2 x x x x b. 2 4 2x%2x#4 d'(x)1 #2x%21 x x 2 igne de . D 1 4 % 32 1 % 28 0 0 Etudions le s x%x# 2 2 4 l’expression du second degré est positive (signe de a) car son discriminant est négatif . donc d'(x)25]0 sur ]0; doncd ]0; 5] est croissante sur c)d ]0; 5] et est croissante sur d(1)10 donc d(x)00 sur ]0;1[ et donc d(x)20 sur ]1; 5] d) oui Partie D 1 1 % 1. H(x)xlnx x ; H'(x)1lnx#x´ %11lnx#1%11lnx , onc H est une primitive de lnx x 3 3 x x 2 2 2 2. d(x)14xlnx#x%2x# 1 donc D(x)14 ( xlnx%x ! # %x#x14xlnx# %x3%x 3 3 æ 1 æ 4ö ö A  Sur [0, 5 ;1] C est en dessous de 9 , donc il faut calculer 1 %f(x)%dx´u.a . 1 ò / 2 ç ç ¸ ¸ x è è ø ø 1 æ 31 1 ö æ 1 ö æ 47 ö A1 % [ D(x) ] 1éD ( 1/ 2)%D(1) ! ù ´u.a1 %2 ln 2% %# % 1%3% 12 ln%2u.a ë û ç ¸ ç ¸ ç ¸ 1/ 2 è 24 4 2 ø è 3 ø è 24 ø