Travaux pratiques (TP) de Mathématiques de niveau Terminale

Tpautrel

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Corrige spé nombres de fermat
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

TP n°2 mathématiques spécialité: Les nombres de Fermat Soit n un entier naturel. n 2 F F=2 On pose n 1 . Chacun des nombres n est appelé nombre de FERMAT. Objectif:étudier deux propriétés arithmétiques de ces nombres.

Remarque:le logiciel choisi doit disposer de fonctions arithmétiques permettant de calculer le reste d'une division euclidienne ainsi que le PGCD de deux entiers. F Sur EXCEL, on est confronté à un problème d'affichage du fait que les nombres n sont très vite grands. Il apparaît judicieux d'utiliser un logiciel de calcul formel en arithmétique: Xcas qui présente l'avantage de faire des calculs y compris avec les chiffres qui ne sont pas affichés.

Partie A: A l'aide du tableur Xcas: F 1. Calculdes 20 premiers entiers n . Garder la ligne 0 pour les titres. Dans la colonne A, afficher les entiers n de 0 à 19. Pour cela, entrer 0 dans la cellules A1 puis la formule = A1+ 1 dans A2, placer le pointeur sur le coin inférieur droit de la cellule, et en maintenant le bouton gauche de la souris enfoncé, tirer vers le bas jusqu'à A21. F Dans la colonne B, entrer dans B1 la formule permettant de calculer 0 , puis recopier vers le bas. F 2. Pourles nombres n affichés, conjecturer le chiffre des unités selon n. F 3. Pourobtenir une conjecture au-delà des nombres n affichés, afficher dans la colonne C, le reste de la F division euclidienne de n par 10. Formuler votre conjecture. Les nombres de Fermat ont 7 comme chiffre des unités, excepté les deux premiers. F F 4. Dansla colonne D, afficher le PGCD deet .Que pouvez-vous conjecturer? n n1 Deux nombres de Fermat consécutifs sont premiers entre eux.

Partie B: partie mathématique ∀n∈ℕ, F=F−1²1 1. Démontrerque, . n1n Calculs non détaillés. n , n2 F≡7[10] 2. a)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel: n . 2 2 F=10×17F≡7[10] F=21=17 Initialisation: 2 et 2 donc 2 . F≡7[10] Hérédité: on suppose qu'il existe un rang n (supérieur à 2) pour lequel n . Démontrons que F 1 est n lui aussi congru à 7 modulo 10. F≡7[10] D'après l'hypothèse de récurrence, n . On soustrait 1. F−1≡6[10] −1≡1[10]  −1²≡6[10] 3 D'où n car .On élève ensuite au carré: F n car 6≡6[10] . On F−1²1≡7[10]F ajoute 1: n donc on vient de prouver que n1 est lui aussi congru à 7 modulo 10.  7[ Donc par récurren F n ≡10] ∀n∈ℕ, n2 ce, . b) Qu'a t-on démontré? Le chiffre des unités des F n est donc bien 7 (sauf pour les 2 premiers) n∈ℕ 3. . F F  a) d est un diviseur commun à n et n1 . Démontrer que d divise 2. = ∈ℤ F F  kF , =d k∈ℤet F  ' , k 'd k d est un diviseur commun à n et à n1 <=> n n1 . 1²1⇔F2F=2 ²2dk=2dk '−dk²2k=2 ∀n∈ℕ, F=F− n1 −F n² n donc dk '−dk c-a-d Or n1n K=k '−dk²2kK∈ ℤ . Il vient que d divise 2 en posant, . F F b) En déduire queet 1 sont premiers entre eux. n n F F  Un diviseur commun à n et n1 divise 2 donc d = 1 ou d = 2. F F≡7[10]F Supposons d = 2 donc n est pair. Or n donc les n sont impairs et ne sont donc pas divisibles par 2. On arrive à une contradiction donc d = 1. F F Le seul diviseur positif commun à n et n1 est 1. Ils sont donc premiers entre eux. 

Partie C: complément p T=21 p est un entier naturel. On pose p . T Montrons que si p est un nombre premier, alors c'est un nombre de Fermat.

2p p S=1xx...−1x 1. Pourx réel, si x est différent de - 1, calculer la somme: 0 1p S=−x −x −x²...−x . S est donc la somme de p +1 termes d'une suite géométrique de raison p1 1−−x −x S= d'où 1x (*) 2n1 ∀ ∈ℕ x1 2. Démontrerque x , n, x1 est divisible par. 2n1 1−−x 2n1 2n1 p=2n S= −x =−x Si p est pair, on peut poser. Donc dans (*). Or. 1x 2n1 x1 2n1 S= x=S×x1 D'où <=>avec S somme d'entiers relatifs. x1 2n1 2n1 x=k×x1 k=S ∀x , n∈ℕ, x1 x1 D'où avec(entier relatif). Il vient queest divisible par. p p 2k 2 ∀ k , p∈ℕ² 3. Endéduire que, si k est impair, alors 2 1 est divisible par 21 . Si k est impair, k = 2m + 1, m entier. Application directe de la 2. 2n1 ∀x , n∈ℕ, x1 x1 De la question précédente,est divisible par. p p p 2 22n1 2 Posons x=2 , d'où en remplaçant, 2 1 e isiblepar 21 . st div p p 2k 2 k=2n1 Il suffit de voir ici que, donc si k est impair, alors 2 1 est divisible par 21 . 4. Conclure: Conjecture (faite au moyen d'Xcas en rajoutant une colonne pour les nombres T p ): les nombres Tp sont des nombres de Fermat à chaque fois que p est une puissance de 2. Soit Tp un nombre premier. Prouvons que p doit être une puissance de 2, c-a-d démontrons qu'il existe un entier k naturel k tel que p = 2 .

Preuve par l'absurde: Supposons que p ne soit pas une puissance de 2, donc il est forcément un multiple d'un nombre impair. En conséquence, p admet donc un diviseur impair supérieur ou égal à 3. p=2n1, p'p '∈ℕ . 2n1pp '2n1p2n1 p Tp=21=2' 12' 1  D'où .Or estdivisible par 2 1 , qui est différent de 1 et de lui- même. Donc Tp n'est pas premier (on arrive à une contradiction). D'où: p doit être une puissance de 2.

n 2 =  => Donc si Tp est premier, T2 1 , c'est donc un nombre de Fermat.