7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois
Correction du DL n˚15 CCP math I PSI 2003
PARTIE I Question I.1L’applicationt7→µ(t) costest continue surRdoncpar le thÉorÈme fondamental 10 0 de l’intÉgration,Gest de classeCsurR,avecG(x) =µ(x) cosx.De mme pourH,avecH(x) = µ(x) sinx.On en dÉduit Z Z x x 0 F(x) = sinx µ(x) cosx+ cosx µ(t) costdt+ sinx µ(t) sintdtcosx µ(x) sin(x) 0 0 Z Z x x = cosx µ(t) costdt+ sinx µ(t) sintdt. 0 0 0 D’oÙF(0) = 0etF(0) = 0. Question I.2 101 GetHÉtant de classeCsurR, on en dÉduit queFest de classeCsurRet donc queFest de 2 classeCsurR. De plus, 002 2 F(x) =sinxG(x) + cosx µ(x) + cosxH(x() + sinx)µ(x) =F(x) +µ(x). Donc 00 F(x) +F(x) =µ(x). Question I.3 FvÉrifie le problÈme de Cauchy linÉaire 00 0 y+y=µ, y(0) = 0, y(0) = 0, etd’aprÈs le thÉorÈme de Cauchy Lipschitz linÉaire, il y a unicitÉ de la solution de ce problÈme doncF=ϕ. R R x x Remarque : l’ÉgalitÉϕ(x) = sinx µ(t) costdtcosx µ(t) sintdts’obtient aussi en appliquant 0 0 la mÉthode de variation des constantes pour rÉsoudre(Eµ). Question I.4 0 0 I.4.1En dÉrivant :G(x+2π)G(x) =µ(x+2π) cos(x+2π)µ(x) cosx= 0carµest2πpÉriodique. 0 0 De mmeH(x+ 2π)H(x) = 0. I.4.2Par I.4.1, La fonctionx7→G(x+ 2π)G(x)est constante, Égale À sa valeur enx= 2π,soit : G(x+ 2π)G(x) =G(2π). De mme,H(x+ 2π)H(x) =H(2π). I.4.3xR ϕ(x+ 2π)ϕ(x) =F(x+π)F(x) = (G(x+ 2π)G(x)) sinx(H(x+ 2π)H(x)) cosx =G(2π) sinxH(2π) cosx. I.4.4La famille(cos,sin)Étant libre,Fest2π-pÉriodique si et seulement siG(2π) =H(2π) = 0. R R 2π2π 2 2π2 I.4.5Avecµ= sinon aG(2π) =sintcostdt= 1/2[sint] =0etH(2πsin) =tdt= 0 00 R 2π 1cos 2t dt=π6= 0donc par I.4.4,ϕsinn’est pas2π-pÉriodique. Mme conclusion pourϕcos 0 2 car alorsG(2π) =π6= 0.
1