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DEVOIR D’ANALYSE N˚1
A remettre dans la semaine du 5 au 10 mars
Exercice SoitnN, et soitfn0r[lafoidnnotceiuse´n,[ par n1/n fn(x) = (1 +x). Etudier la convergence uniforme sur[ 0,[ dela suite (fn)n1. Probl`eme SoitnN, et soitfncnitalof[0esureniond´,+[ par  n x 1six[ 0, n] n fn(x) =. 0 sixn 1) Montrer quefn[ 0est continue sur,[ ,et quefne´iravlbseru0[estd,[ sin2. 2) Trouver la limite simplef0sur [,+[ dela suite (fn)n1. x 3) Pourx0, on poseh(x) =xe. Montrer que la fonctionhsebtro´neesur[0,+[ et calculer||h||. 4) Pourx[ 0, n[ onpose   x gn(x) =x+ (n11) ln. n a)En´etudiantlesvariationsdegn, montrer qu’il existe un nombreαnet un seul dans] 0, n[ tel quegn(αn) = 0, et queαn>1. 0 0 b)Ende´duirelesignedeffsur [0, n] . n h(αn) c) Montrer quef(αn)fn(αn) =. n 5) Montrer que||ffn||= (ffn)(αnriqeeualetdne´ud,e)suite(fneme´tninuemrof)converg versfsur [0,+[ .   a R 6) Soita >suituelaerpiuqeceqede`ce´.D0edirdu´efn(x)dxconverge et donner sa limite. 0 7) En vous inspirant d’un calcul fait en cours, montrer que si|x|<lra´eeng´meeretdeire´sal,1 n n (1)x /nconverge et que X k x k (1) =ln(1 +x). k k=1 8)Ende´duireque   k X 2 1k gn(2) =, n k(k+ 1) k=2 puis que 1< αn<2.