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DEVOIR D’ANALYSE N˚2
A remettre dans la semaine du 16 au 20 avril
Nombres de Stirling de deuxiÈme espÈce
Dans l’espace vectorielRn[X]des polynÔmes de degrÉ au plusn, on note f0(X) = 1, f1(X) =Xet, si2kn, fk(X) =X(X1)∙ ∙ ∙(Xk+ 1). On obtient ainsi une base(f0, f1,∙ ∙ ∙, fn)deRn[X]. Il existe alors des nombresS(n, k)(nombres de Stirling de deuxiÈme espÈce) tels que, si0kn, n X n X=S(n, k)fk(X). k=0 1) a) Pour toutn0, calculerS(n,0)etS(n, n). Pour toutn1, calculerS(n,1).
b) VÉrifier que, sik0, on a l’ÉgalitÉXfk(X) =fk+1(X) +kfk(X), et en dÉduire que, si n1, et1kn S(n+ 1, k) =kS(n, k) +S(n, k1).
n1n c) Soit, sin1, la propriÉtÉ(Hn)suivante : « si0kn, on a0S(n, k)2k» . Montrer par rÉcurrence que, pour toutn1, la propriÉtÉ(Hn)est vraie. X S(n, p) n 2) Sip1, on considÈre la sÉrie entiÈrehp(x) =x . n! n=p a) Montrer que la sÉrie converge pour toutxrÉel. Que vauth1(x)? Que vauthp(0)?
b) Montrer que, sip1, la fonctionhp+1est la solution de l’Équation diffÉrentielle linÉaire 0 y(p+ 1)y=hp,vÉrifiant la condition initialey(0) = 0. En dÉduire par rÉcurrence, en rÉsolvant l’Équation diffÉrentielle prÉcÉdente, que, sip1, on a pour toutxrÉel 1 x p hp(x) =(e1). p! x p c) En dÉveloppant(e1)par la formule du binÔme, et en utilisant le dÉveloppement en sÉrie entiÈre de l’exponentielle, montrer que, sin1et1pn, p  X 1p pk n S(n, p) =(1)k . p!k k=1 n p En dÉduire que lorsquentend vers l’infini,pÉtant fixÉ, on aS(n, p). p! X n 3) Sip1, on considÈre la sÉrie entiÈreSp(x) =S(n, p)x . n=p a) Quel est le rayon de convergenceRp? Que vautde cette sÉrieS1(x) ?
b) Montrer que sip2, et|x|<1/pon a la relation En dÉduire la valeur deSp(x).
pxSp(x) +xSp1(x) =Sp(x).
c) En effectuant le produit des sÉries de1/(1x)et1/(12x)trouverS(n,2).