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Devoir Libre n PSI

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Devoir Libre n?13 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 29 janvier 2010) Calculatrices interdites. On rappelle que la fonction ? est definie pour tout reel z > 0 par ?(z) = ∫ +∞ 0 tz?1e?t dt Cette fonction possede les deux proprietes suivantes : - pour tout reel z > 0, ?(z + 1) = z?(z) ; - il est admis que ∫ 1 0 u??1(1? u)??1 du = ?(?)?(?) ?(? + ?) , pour tous reels ? > 0 et ? > 0. I. Fonctions hypergeometriques. 1. Soit z un reel strictement positif. Determiner des conditions necessaires et suffisantes sur les reels ? et ? pour que la fonction t 7? t??1(1 + t)??1e?zt soit integrable sur R?+. 2. Soit z un reel strictement positif. Determiner des conditions necessaires et suffisantes sur les reels ? et ? pour que la fonction t 7? (?t)??1(1 + t)??1e?zt soit integrable sur ]? 1, 0[. On fixe maintenant deux reels ? > 0 et ? > 0 et on definit les fonctions K(z) = ∫ +∞ 0 t?(1 + t)?e?zt dt I1(z) = ∫ +∞ 0 t??1(1 + t)?e?zt dt I2(z) = ∫ +∞ 0 t?(1 + t)??1e?zt dt

  • solution du meme systeme

  • solution generale du systeme differentiel

  • meme equation

  • equation differentielle

  • relation de chasles

  • determiner des conditions necessaires

  • polynome de degre ?

  • theoreme de convergence dominee


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Devoir Libren13 PSI MATHEMATIQUES (a`rendrele29janvier2010) Calculatrices interdites. OnrappellequelafonctionΓestde´niepourtoutre´elz >0 par Z +z1t Γ(z) =t edt 0 Cettefonctionposse`delesdeuxpropri´ete´ssuivantes: -pourtoutr´eelz >0, Γ(z+ 1) =zΓ(z) ; - ilest admis que Z 1 Γ(α)Γ(β) α1β1 u(1u)du=, Γ(α+β) 0 pourtousr´eelsα >0 etβ >0. I.Fonctionshyperg´eom´etriques. 1. Soitzntsasuessereutsece´iassitidnsnolrsernuirtslee´mrnie´etcsnoreedentpctemif.Dosit r´eelsαetβpour que la fonction α1β1zt t7→t(1 +t)e soitinte´grablesurR. + 2. Soitzssce´esntssereaisetnasuselruseimteifnrtipcotsteelrsmt.nDr´´eeedcusnireitnonoid r´eelsαetβpour que la fonction α1β1zt t7→(t) (1+t)e soitinte´grablesur]1,0[. Onxemaintenantdeuxr´eelsα >0 etβ >e´dnote0nsioctonsfleitn Z +α βzt K(z) =t(1 +t)e dt 0 Z +α1βzt I1(z) =t(1 +t)e dt 0 Z +α β1zt I2(z) =t(1 +t)e dt 0 pourtoutre´elstrictementpositifz. ntcontinˆumentd´R 3. MontrerqueI1etI2surso erivables+et que 0 0 =KetI= I1 2K+I2(E) 4. MontrerquezK=αI1+βI2.   I1(z) 5.End´eduirequelevecteurI(zolutests=)iaerusrllie´ein´eintre`tsydemednoisnuI2(z) R: + 0 I(z) =A(z)I(z) (S) o`uA(z) est une matrice que l’on explicitera. 6. MontrerqueKsatisfait surRi´eiondquatne´ee´ialenieillertnoelque2drordre.areticilpxenu +
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