Rappel Si n a b est un vecteur normal la droiteD et que celle ci passe par le point A

Description

Correction du contrôle I Rappel : Si??n (a ; b) est un vecteur normal à la droiteD et que celle-ci passe par le point A ( xA ; yA ) , une équation cartésienne de D est : a (x ? xA)+b ( y ? yA ) = 0. Ici : A(1 ; ?2) et ??n (1 ; 3,). Une équation de la droite ayant ??n comme vecteur normal et passant par A est : 1(x ?1)+3(x ? (?2))= 0? x +3y +5= 0 . II Soit?(1 ; 3) et soit r = 2. Une équation cartésienne du cercle de centre? et de rayon r est : (x ?1)2+ (y ?3)2 = 22, soit : (x ?1)2+ (y ?3)2 = 4 . III On considère l'équation x2+ y2?6x +8y +16 = 0. x2+ y2?6x +8y +16 = 0? x2?6x + y2+8y +16= 0 ? (x ?3)2?32+ (y +4)2?42+16= 0? (x ?3)2+ (y +4)2 = 9 ? (x ?3)2+ (y +4)2 = 32 . C'est bien l'équation du cercle de centre?(3 ; ?4) et de rayon 3.

• vecteur normal


• expression analytique du produit sca- laire


• equation cartésienne


• ?? cf


• relation de chasles :(???


• coordonnées


• ???

Sujets

• Normale à une surface
• Équation cartésienne
• Relation de Chasles

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
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• Langue: Français

Extrait

Correctionducontrôle
? ? ? ?−→−→ ? ?I 3. AB.AC = AB × AC × cos BAC donc cos BAC =
−→−→
AB.AC −10 5→−
Rappel:Si n(a; b)estunvecteurnormalàladroiteD etque = p =−p .? ? AB×AC 2 2×13 26celle-ci passe par le point A x ; y , une équation cartésienneA A? ? ? ? 5 −−−→
?deD est:a(x−x )+b y−y =0. cos BAC = −p ; on en déduit que BAC ≈ 168,7˚ àA A
→− 26Ici: A(1;−2)et n(1; 3,).
0,1˚ parexcès.→−Une équation de la droite ayant n comme vecteur normal et
passantpar A est:
VI1(x−1)+3(x−(−2))=0⇔ x+3y+5=0 .
? ?p p
Onconsidèrelespoints A(−2 3; 2)etB −3; 3 3 .
II 1. Cherchonslescoordonnéespolairesde A :q
p p p
2 2r=OA= (−2 3) +2 = 12+4= 16=4.SoitΩ(1; 3)etsoitr=2.
Siθ est la deuxième coordonnéepolaire de A (angleentreUneéquationcartésienneducercledecentreΩetderayonr est: p p
x −2 3 32 2 2 2 2  A(x−1) +(y−3) =2 ,soit: (x−1) +(y−3) =4 . cosθ= = =−→− −→
r 4 2i etOA),ona: .
y −2 1 A sinθ= = =−
r 4 2 pIII
3 cosθ=−2 2
Onconsidèrel’équation x +y −6x+8y+16=0. 2Oncherchedoncθ telque: .
12 2 2 2 x +y −6x+8y+16=0⇔x −6x+y +8y+16=0 sinθ=−
2 2 2 2 2 2 2p⇔(x−3) −3 +(y+4) −4 +16=0⇔(x−3) +(y+4) =9
π 3 π 1 π 5π
2 2 2 Onsaitquecos = etsin = doncθ= −π=−⇔ (x−3) +(y+4) =3 . 6 2 6 2 6 6
(mesureprincipale).C’estbienl’équation ducercledecentreΩ(3;−4)etderayon3.
? ?
5π
Lescoordonnéespolairesde A sont: A 4;− .
6
IV
CherchonslescoordonnéespolairesdeB :q1. La mesure principale d’un angle est, parmi toutes les me- p p p
2 2r= (−3) +(3 3) = 9+27= 36=6.sures de cet angle définies à un nombre entier de fois 2π  x −3 1B′près,cellequiappartientàl’intervalle ]−π; π].  cosθ = = =−
′ r 6 2p p185π Oncherchealorsθ telque: .
 y −3 3 3B2. Oncherchelamesureprincipalede . ′ sinθ = = =−6 r 6 2Ce nombre dépasse π. il faut retrancher 2kπ, k∈Z, pour  1′ cosθ =−tomberdansl’intervalle ]−π; π].
2pOndoitdoncavoir: .Ondoitdoncavoir: 3 ′185π 185 sinθ =−
−π< −2kπ?π⇔−1< −2k?1 2p6 6
π 1 π 3⇔−6<185−12k<6⇔−191?−12k?−179 Onsaitquecos = etsin = .unanglequiaunco-191 179 3 2 3 2⇔ >k? . π 2π 2π12 12 ′sinusopposéestπ− = (etlemêmesinus) :θ = .
3 3 3Onendéduit: k=15 . ? ?
185π 2π
La mesure principale correspondant à un angle de LescoordonnéespolairesdeB sont:B 6; .
6 3
185π 185π 180π 5π
2. On utilise les coordonnes polaires de A et B pour placerest: −15×2π= − = .
6 6 6 6 cespoints.
Onconstruitd’abordcesdeuxanglessurlecercletrigono-
métrique, on trace les demi-droites [OA) et [OB) corres-V
pondantes,puislesintersectionsaveclescerclesdecentre
Soientlespoints A(1; 2),B(−1; 4)etC(2;−3) O etderayonsrespectifs4et6.
−→ −→ −→
1. Lescoordonnesdesvecteurs AB et AC sont: AB(−2; 2)et
−→ Figureàlafindel’exerciceAC(2;−3).
3. OnutiliselarelationdeChasles: ? ?2. Onendéduit: ? ? ? ? ? ?−−→ −−→ −−→ →− →− −−→ 5π 2π
OA ; OB = OA ; i + i ; OB =− − +−→−→ −→−→ 6 3• AB.AC=−2×2+2×(−3)=−4−6=−10; AB.AC=−10 .
5π 2π 9π 3π π
p p p p = + = = ,dontlamesureprincipaleest − .
2 2• AB= (−2) +2 = 8=2 2; AB=2 2 . 6 3 6 2 2
p p p p 4. OnendéduitqueletriangleOAB estrectangleenO.
2 2• AC= 2 +(−3) = 4+9= 13; AC= 13 . Iln’estpasisocèleenO,puisqueOA=4etOB=6.
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2π
→−3
j
→−O5π i−
6
A
VII
? ?π 1
x∈ ; π[ etsin(x)= .
2 4
? ?21 1 152 2 2 21. Ona:cos (x)+sin (x)=1donccos (x)=1−sin (x)=1− =1− = .
4 16 16p ? ?15 π
Onendéduit:cos(x)=± ;or,x∈ ; π[ ,donccos(x)<0.
4 2
p
15
Parconséquent: cos(x)=− .
4
2. Onaalors:
p
15
• cos(x+π)=−cos(x)=
4
1
• sin(π−x)=sin(x)=
4
? ?π 1
• cos −x =sin(x)=
2 4
p? ? ? ?π π 15
• sin +x =sin −x =cos(x)= .
2 2 4
VIII
Rappel: si l’on veut calculer unproduitscalaire dedeux vecteurs en utilisant une projection orthogonale,il faut projeter orthogo-
nalementl’undesvecteurssurl’autrevecteur,cequin’étaitpaspossibleici!
Leproduitscalairededeuxvecteursesthomogèneàunproduitdelongueurs,doncàuneaire.
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bbbbbbbbbbbaD F C
J
G I E
A H B
b
1. Pour les calculs desdifférents produits scalaires, il y a deux façons : l’utilisation dela relation deChasles et des angles droits
ducarréoudecoordonnées.
Premièreméthode:
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→−→ −→−→ −→−→2 2 2 2 2• EF.ED= EC+CF . EC+CD =EC +EC.CF+CF.EC+CF.CD=EC +0+0+CF×CD=a +b(a+b)= a +ab+b
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→−→ −→−→ −→−→2 2 2 2 2• FE.FB= FC+CE . FC+CB =FC +FC.CB+CE.FC+CF.CE=FC +0+0+CE×CB=b +a(a+b)= a +ab+b
? ? ? ?−→−−→ −→ −→ −−→ −→ −→−−→ −→−→ −→−−→ −→−→ 2• BF.DE= BC+CF . DC+CE =BC.DC+BC.CE+CF.DC+CF.CE=0−(a+b)×a+0−b(a+b)= −(a+b)
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→
• AF.DE= AD+DF . DC+CE =0−a(a+b)+a(a+b)+0= 0
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→
• AE.BF= AB+BE . BC+CF =???0=
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→
• AI.EF= AH+HI . EI+IF =???0=
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −−→ −−→ 2• AE.AF= AB+BE . AD+DF =???(=a+b)
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→ 2• EA.EF= EB+BA . EC+CF =???b=
? ? ? ?−→−→ −→ −→ −→ −→ 2
• FA.FE= FD+DA . FC+CE =???a=
? ?→− →−
Deuxièmefaçon:Onintroduitunrepèreorthonormal A ; i ; j .
Lescoordonnéesdesdifférentspointsdelafiguresontalors:
A(0; 0);B(a+b ; 0);C(a+b ; a+b);D(0; a+b);E(a+b ; b);F(a ; a+b);G(0; b);H(a ; 0);I(a ; b).
On calcule alors les coordonnées des vecteurs, puis leur produit scalaire en prenant l’expression analytique du produit sca-
laire.(lescoordonnéesdesvecteurspeuventseliredirectementsurlafigure!)
Parexemple:
−→ −→ −→−→ 2 2 2 2EF(−b ; a);ED(−(a+b); a);EF.ED=−b×(−(a+b))+a =b(a+b)+a =a +ab+b .
Demêmepourlesautresvecteurs.
2. Onconsidèreletriangle AEF.
−→−→ −→ −→
Ona: AF.DE=0donc AF⊥DE.LAdroite(DE)estdonclahauteurdutriangle,issuedeE.
Demême:(BF)⊥(AE)donc(FB)estlahauteur issuedeF danscetriangle.
J,intersectiondedeuxhauteurs,estl’orthocentre.
Ladroite(AJ)passeparunsommetetl’orthocentredutriangle AEF ;c’estdonclatroisièmehauteur.Elleestperpendiculaire
àladroite(EF).
−→−→
Or, AI.EF=0donc(AI)estaussiperpendiculaireà(EF).
Lesdroites(AI)et(AJ)sontperpendiculairesàlamêmedroite,doncellessontparallèles.Commeellesontunpointcommun,
ellessontconfondues.Lespoints A,I et J sontdoncalignés.
3. AiredutriangleAEF :elleestégaleàl’aireducarré ABCD,privéedesairesdestrianglesquil’entourent:
A (AEF)=A (ABCD)−[A (ABE)+A(ECF)+A(FDA)]? ?
b(a+b) ab a(a+b) 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2=(a+b) − + + =(a+b) − [ab+b +ab+a +ab]= (a+b) − (a +3ab+b )=a +2ab+b −
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 2a +4ab+2b −a −3ab−b a +ab+b2 2(a +3ab+b ]= = .
2 2 2
2 2AK×EF 2×A (AEF) a +ab+b
4. Ona:A(AEF)= donc AK= = p
2 22 EF a +b
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b