Son et Mathematiques Maıtine Bergounioux

Maïtine Bergounioux

Description

Son et Mathematiques Maıtine Bergounioux MAPMO - UMR 6628 - Departement de mathematiques - Universite d'Orleans - BP 6759 - 45067 Orleans cedex 02, France 17 fevrier 2005 Resume Nous montrons comment l'analyse de Fourier est utilisee en traitement du son 1 Problematique Le traitement du son prend une part de plus en plus importante dans notre environ- nement et notre vie quotidienne. On peut se poser de nombreuses questions relatives a la perception, la restitution ou la transmission du son, comme par exemple : – Pourquoi mon voisin n'a-t-'il pas la meme voix que moi ? – Pourquoi les memes notes jouees par un violon, une trompette ou un piano sont-elles differentes ? – Pourquoi la voix de mon correspondant est-elle differente au telephone ? – Comment se deplace la chauve-souris ? – Quel est le principe d'un enregistrement numerique ? – Comment puis-je envoyer ou recevoir de la musique par internet ? – etc . On peut repondre partiellement a ces questions en considerant que le son est ce que l'on appelle un « signal » et qu'on peut l'analyser, le traiter et le modifier grace a des techniques mathematiques particulieres. 1.1 L'aspect physique du son Le son est en fait une consequence d'un mouvement materiel d'oscillation, une corde qui vibre ou la membrane d'un haut-parleur par exemple.

• outil mathematique essentiel en traitement du signal


• departement de mathematiques - universite d'orleans - bp


• fenetre temporelle sur le signal temporel


• ondes de nature mecaniques


• analyse de fourier


• traitement de signal

Sujets

• Analyse harmonique (mathématiques)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 février 2005
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

SonetMath´ematiques Maı¨tineBergounioux MAPMO-UMR6628-De´partementdemath´ematiques- Universite´d’Orl´eans-BP6759-45067Orl´eanscedex02,France [e-mail] 17f´evrier2005 R´esum´e Nousmontronscommentl’analysedeFourierestutilise´eentraitementduson 1Probl´ematique Le traitement du son prend une part de plus en plus importante dans notre environ- nementetnotreviequotidienne.Onpeutseposerdenombreusesquestionsrelatives`ala perception, la restitution ou la transmission du son, comme par exemple : –Pourquoimonvoisinn’a-t-’ilpaslamˆemevoixquemoi? –Pourquoilesmeˆmesnotesjoue´esparunviolon,unetrompetteouunpianosont-elles diff´erentes? –Pourquoilavoixdemoncorrespondantest-ellediff´erenteaut´ele´phone? –Commentsed´eplacelachauve-souris? –Quelestleprinciped’unenregistrementnum´erique? – Comment puis-je envoyer ou recevoir de la musique par internet ? – etc . Onpeutre´pondrepartiellementa`cesquestionsenconsid´erantquelesonestceque l’on appelle un « signal » etqu’onpeutl’analyser,letraiteretlemodifiergrˆacea`des techniquesmath´ematiquesparticulie`res. 1.1 L’aspect physique du son Lesonestenfaituneconse´quenced’unmouvementmate´rield’oscillation,unecorde qui vibre ou la membrane d’un haut-parleur par exemple. Cette vibration provoque un mouvementdesatomesl’avoisinantquivased´eplacerdeprocheenprochesousforme d’ondedepression.Danscemouvement,lesatomesvibrentparall`element`aladirection de propagation de l’onde. C’est donc une onde progressive longitudinale. Parmi les ondes de nature mecaniques, seules les longitudinales peuvent se propager relativement loin dans ´ un milieu gazeux. Ce qui nous permet, entre autres, d’entendre ce que notre interlocuteur nous dit. Dans le vide, le son ne peut se propager faute d’atomes autour de la source de vibration,aucuneondem´ecaniquenepeutdoncsecre´er. Enre´sum´e:

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´ PROBLEMATIQUE

–Unesourcesonorecr´ee,dansl’espace,deszonesdesurpressionetdede´pression (pressionsonore)quivarientdansletemps`alameˆmefre´quenceetaveclameˆme formequecettesource.Cettemodificationdepressionsed´eplace`alavitessede340 m/s dans l’air. –L’oreilleestsensible`alapressionsonore,etlescaracte´ristiquesperceptivesde hau- teur,intensite´,timbre et dur´ee sont´etroitementlie´esauxparame`tresphysiquesqui d´efinissentlasourcesonore,c’est-a`-direrespectivementla fr´equence,l’amplitude,la forme et le temps de la vibration. Le signal sonore est donc un signal unidimensionnel (une onde qui se propage dans uneseuledirection)capte´etanalys´eparl’oreilleetlecerveau.Lesoutilsquenousallons pre´senterpermettentdereproduirecetteanalyse « artificiellement » . Ainsi, on peut plus particuli`erement´etudierlavoixparl´eeouchant´ee(signalvocal).

1.2 Qu’est -ce que le traitement du signal ? Onappellesignaltouteentit´equiv´ehiculeuneinformation:

Letraitementdusignalestuneproc´edurepourextrairecetteinformation(filtrage, d´etection,estimation,analysespectrale...)

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L’ANALYSE DE FOURIER

Onpeutaussimodifier,mettreenformelesignal(modulation,´echantillonnage....) pourpouvoirlestocker(CDsaudioouvid´eo)ouletransmettre(fichiers « sons » sur Internet). Pre´sentonsmaintenantunoutilmathe´matiqueessentielentraitementdusignal:l’analyse de Fourier 2 L’analyse de Fourier Comme le signal sonore que nous voulons traiter est unidimensionnelnoussupposeronsd´esormaisque toutes les fonctions (signaux) que nous considerons ´ sontauneseulevariable(r´eelleoucomplexe).On ` peutbiensˆuradaptertoutcequivasuivre`ades signaux bi- ou tri-dimensionnels : le principe est le meme mais la technique est un peu plus com-ˆ plique´e.

2.1Se´riedeFourier Conside´ronsunsignaluni-dimensionnel(sonparexemple) x T signalp´eriodique,de p´eriode T . Remarque 2.1 ilfautsavoirqu’unsignalvocalquisemblenepasˆetrep´eriodique(onne ditpastoujourslamˆemechose)estenfait localement p´eriodique:sionzoomeentemps (parexemplesionisoleunevoyellesurunedure´ede20ms)lesignalestalorsclairement pe´riodique.Nousreviendrons,unpeuplusloinsurcettetechniquede « zoom » . Onpeutalorsaffirmer(moyennantcertaineshypothe`sesli´eesa`lar´egularite´dusignal etve´rifi´eesenpratique)que x T este´gale`asas´eriedeFourier:

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2 L’ANALYSE DE FOURIER

+ ∞ + ∞ x T ( t ) = a o + X a n cos(2 πnf t ) + X b n sin(2 πnf t ) n =1 n =1 T avec a o = T 1 Z 2 T T ( ) dt valeur x t moyenne de x et − 2 T T a n = T 2 Z − 2 T 2 x T ( t ) cos(2 πn f t ) dt et b n = T 2 Z − 2 2 T x T ( t ) sin(2 πnf t ) dt C’estdonclasuperpositiondesignauxsinusoı¨dauxdefre´quences n f ,o`u n est entier et f = T 1 estlafr´equenceou fre´quencefondamentale .Letermedefr´equence n ∙ f est la nie`me harmonique . Onpeut´ecrire´egalementlase´riedeFourierennotationcomplexe: + ∞ x T ( t ) = X c n e 2 iπnf t n = −∞ T ∀ n ∈ Z c n = T 1 Z 2 2 T x T ( t ) e − 2 iπnf t dt. − Onconstatedoncqu’onpeutde´crireunsignalsoitparsonexpression temporelle (valeur du signal x T a`l’instant t ) soit par son expresion fre´quentielle c’est-a`-diresous formede´eriedeFourier.Chaqueharmonique n f estaffecte´ed’uncoefficient(complexe) s c n dont on peut tirer beaucoup d’informations. Onpeutge´n´eralisercequi´`edea`unsignalquelconque x nonne´cessairement prec p´eriodique,maisdecarr´eint´egrablesur R . F { x ( t ) } = x ˆ( λ ) de = f Z − + ∞ ∞ x ( t ) e − 2 iπλt dt + ∞ x ( t ) = F − 1 { ˆ x ( λ ) } = Z ˆ( λ ) 2 iπλt dλ x e −∞ Enpratique,onabesoina`lafoisdel’informationentempsetenfrequence;onfaitalors ´ de l’ analysetemps-fre´quence .Leprincipeconsistea`de´placerunefenˆetretemporelle surlesignaltemporel(ilfautimaginerunrectanglequisede´placelelongdusignalet permetdezoomer),etonfaitl’analysefr´equentiellesurlaportiondesignalcible´e.Eneffet, latransform´eedeFouriertoutcommelase´riedeFourier,utilisedesvaleursmoyennessur l’intervalle de temps. On n’a donc qu’une information globale en temps. Le fait de passer pardesfenˆetres(depetitetaille)quisede´placentlelongdel’axetemporelpermetde r´eduirel’intervalletempsdemani`eresignificativeetdoncdecompenserleseffetsdela moyennisation.

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