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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 23 mars 2013
´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚06
EXERCICE 1
On consid`ere la suite de nombres r´eels (u ) d´efinie par :n n∈N

2u = u +un+1 n n
+u = a, a∈R0
Partie I. Convergence de (u )n n∈N
1. Une r´ecurrence imm´ediate montre que (u ) est strictement positive : on peut aussi utili-n
+en effet ser le fait que R est
Initialisation : a> 0 stable pour la fonction
2H´er´edit´e : soitn∈N tel queu > 0. Alorsu =u +u ≥u > 0. it´eratrice f : x →x +n n+1 n nn
2Par transitivit´e de l’ordre, il s’en suit que u > 0. xn+1
Conclusion : Par r´ecurrence, j’ai d´emontr´e que∀n∈N, u > 0.n
Il en r´esulte imm´ediatement que (u ) est strictement croissante :n
2Soit n ∈ N, alors d’apr`es ce qui pr´ec`ede u −u = u > 0. J’enn+1 n n
d´eduis que (u ) est strictement croissante. Nn
2. Recall that increasing sequences are either converging to a finite value
or diverging to +∞. Montrons par l’absurde que (u ) ne peut ˆetren
convergente :
Supposons au contraire que (u ) converge vers une limite finie ∈ R.n
Alors
2u = u +un+1 n n
2= +
D’apr`es les propri´et´es alg´ebriques des suites convergentes , la suite ou par le th´eor`eme
2de terme g´en´eralu +u est convergente de limite . De mˆeme, la suite de la Caract´erisationn n
(u ) extraite de la suiteu est aussi convergente vers . Par unicit´e s´equentielle de lan+1 n
2de la limite, il en r´esulte que = + , i.e. = 0. Or la suite (u ) continuit´e appliqu´e `an
est croissante donc minor´ee par a> 0 : elle ne peut converger vers 0. la fonction it´eratrice
Contradiction N continue, ou bien
encore par le th´eor`eme
Partie II. Etude d’une suite auxiliaire
sur les limites des
suites d´efinies par uneOn d´efinit la suite (v ) par :n n∈N
relation de r´ecurrence
1
u = f(u ) avecn+1 n∀n∈N, v = lnun nn2
une fonction it´eratrice
f continue sur un1
intervalle stable
⋆ցℓւℓℓℓℓℓ⋆ℓℓℓℓComme la suite (u ) est strictement positive, la suite auxiliaire v estn
bien d´efinie.
1. Soit n∈N :
1 1 1
v −v = lnu − lnu = (ln(u )−2 lnu )n+1 n n+1 n n+1 nn+1 n n+12 2 2
1 u 1 1n+1
= ln = ln 1+ .
n+1 2 n+12 u 2 unn
Soient p et n des entiers naturels quelconques, en appliquant ce qui
pr´ec`ede aux deux termes cons´ecutifsv etv de la suitev, j’ob-n+p+1 n+p
tiens directement
1 1
0<v −v ≤ ln 1+n+p+1 n+p n+p+12 un+p
Or d’apr`es la question 1 a. la suite (u ) est strictement croissante, parn
1 n+p+1cons´equent la suite ln est strictement d´ecroissante. Comme 2
un
est positif, j’en d´eduis que :
1 1
0<v −v ≤ ln 1+n+p+1 n+p n+p+12 un
N
22. Soit (n,k)∈N , Ecrivons
kX
v −v = v −vn+k+1 n n+1+j n+j
j=0
Or pour tout j∈ [[0,k]], nous avons d’apr`es la question pr´ec´edente
1 1
0<v −v ≤ ln 1+n+1+j n+j n+1+j2 un
Sommant terme `a terme cet encadrement conduit `a
k k jX X 1 1 1 1 1
0<v −v ≤ ln 1+ ≤ ln 1+ .n+k+1 n n+1+j n+12 u 2 u 2n n
j=0 j=0
k X
j k+1
Or, (1/2) = 2 1−(1/2) ≤ 2. Par cons´equent, identit´e
j=0 g´eom´etrique
1 1
0<v −v ≤ ln 1+n+k+1 n n2 un
N
2

13. Choisissons n = 0, il vient : ∀k ∈ N, 0 < v − lna ≤ ln 1 + .k+1 a
Ainsi, pour tout entier naturel non nul k :
1
lna<v ≤ lna+ln 1+k
a
Il en r´esulte imm´ediatement que la suite v est born´ee.
Choisissons k = 0, alors pour tout entier n∈ N, v −v > 0. D’ou`n+1 n
je tire que v est strictement croissante. La suite v ´etant croissante et
major´ee est donc convergente d’apr`es le th´eor`eme de la Li-Mo. On
note α = lim v . Nn
n→+∞
Partie III. Comportement asymptotique de (u )n n∈N
1. Commev est croissante et convergente de limiteα, il en r´esulte que thanks to Li-Mo
α = sup v . En particulier, pour tout entier n∈N, v ≤α. Comme thmn nn
1 n nlnu ≤α ⇐⇒ lnu ≤ 2 α ⇐⇒ u ≤ exp(α2 ),n n nn2
j’end´eduis que
n∀n∈N, u ≤ exp(α2 )n
Soitn∈N fix´e. Pour tout entier naturelk∈N, nous avons d´emontr´e
que :
1 1
0<v −v ≤ ln 1+n+k+1 n n2 un
Or la suite (v ) ´etant extraite de v converge quand k tend versn+k+1
+∞ vers α. Ainsi, par compatibilit´e du passage `a la limite dans une
1 1
in´egalit´e, j’obtiens l’encadrement : 0 ≤ α−v ≤ ln 1 + ,n n2 un
c’est-`a-dire
1n n2 α−2 v ≤ ln 1+n
un
Comme la fonction exp est (strictement) croissante, et que u =n
nexp(2 v ), j’en d´eduis quen
nexp(2 α)≤ 1+un
Ainsi, pour tout entier naturel n, u v´erifie l’encadrement :n
n n2 α 2 αe −1≤u ≤en
D’ou` je tire, en divisant tous les membres de cet encadrement par
nexp(2 α),
un n−2 α1−e ≤ ≤ 1
n2 αe
3
On conclut alors, grˆace au th´eor`eme de convergence par encadre-
un
ment que lim = 1. Autrement ditn2 αn→+∞e
nu ∼ exp(α2 )n +∞
N
2. On pose
nβ = exp(α2 )−un n
D’apr`es la question pr´ec´edente, l’encadrement suivant est valide pout
tout entier naturel n
n n2 α 2 αe −1≤u ≤en
Il en r´esulte at once que
∀n∈N, 0≤β ≤ 1n
De plus, pour tout entier n∈N, nous avons
n n n n n n2 −α2 α×2×2 2 α2×2 α2 2 α2 −α2(β +β −β )×e = e −u −u +e −2u e +u −e +u ×en+1 n n n nn n n
n n n nα×2×2 α2 α2 −α2= 2e −2u e −e ×en
nα×2= 2e −2u −1n
= 2β −1n
N
3. Montrons que la suite (β ) est convergente. Remarquons tout d’abordn
2que la suite (β +β −β ) est born´ee car, d’apr`es la question 3.b.n+1 n nn
2(β ) l’est. Soit M > 0 tel que∀n∈N|β +β −β |≤M.n n n+1 nn
Ainsi
2 β +β −β Mn+1 nn |2β −1| = ≤ −−−−→ 0n n n