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Cours de géométrie élementaire - Accès à l'enseignement supérieur, Coniques

De
22 pages

Ce cours de géométrie élémentaire destiné à consolider les acquis des étudiants pour leur accès à l'enseignement supérieur est composé de deux chapitres : (1) Coniques (2) Barycentres

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Ajouté le : 01 janvier 2013
Lecture(s) : 42
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Coniques 1

CONIQUES

I - Courbes planes du second degré
r r
Il s’agit des courbes planes qui ont dans un repère orthonormé (O,i , j) une équation
2 2 de la forme : Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = 0 avec (A, B,C) ≠ (0,0,0) .
1) Réduction de l’équation
a) Rotation du repère
On effectue une rotation d’angle de mesure θ et de centre O. Donc on obtient un
r r r rr r r r
nouveau repère orthonormé (O,u,v) où u = i cos θ + j sin θ et v = −i sin θ + j cosθ .
r r
Le point M qui a pour coordonnées (x, y) dans (O,i , j) a pour coordonnées (x', y')
r r r r x = x'cosθ − y'sin θ
dans le nouveau repère. Donc : OM = xi + yj = x'u + y'v . Donc . 
y = x'sin θ + y'cosθ
r r
Donc la courbe a pour équation dans le repère : (O,u,v)
2 2A(x'cosθ − y'sin θ) + 2B(x'cosθ − y'sin θ)(x'sin θ + y'cos θ) + C(x'sin θ + y'cosθ)
+ 2D(x'cos θ − y'sin θ) + 2E(x'sin θ + y'cos θ) + F = 0
Ce qui donne en développant :
2 2 2 2 2x' (Acos θ + 2Bsin θcosθ + C sin θ) + 2x' y'[(C − A)sin θcosθ + B(cos θ − sin θ)]
2 2 2+ y' (Asin θ − 2Bsin θcosθ + C cos θ) + 2x'(D cosθ + E sin θ) + 2y'(−Dsin θ + E cosθ) + F = 0
Le coefficient du terme x' y' est donc : α = (C − A)sin 2θ + 2B cos 2θ .
2B
Si C ≠ A, il existe un réel θ tel que , et dans ce cas α = 0 . tan 2θ = −
C − A
π
Si C = A , pour θ = , on a α = 0 .
4
Donc il existe un repère orthonormé (obtenu par rotation) dans lequel l’équation de la
2 2
courbe est de la forme : A' x' +B' y' +2C' x'+2D' y'+E'= 0 avec (A', B') ≠ (0,0) .
2 2Acos θ + 2Bsin θcosθ + C sin θ = 0
En effet, si A'= B'= 0 , on a : .  2 2Asin θ − 2Bsin θcosθ + C cos θ = 0
2 2Acos θ + 2Bsin θcosθ + C sin θ = 0
Donc : (en additionnant). 
A + C = 0
Acos 2θ + B sin 2θ = 0
Donc : (en additionnant). 
C = −A
π
Si C = A , c’est impossible car on aurait A = C = 0 , donc B = 0 car . θ =
4
2B B
Si C ≠ A, on a tan 2θ = − , ce qui donnerait tan 2θ = avec C = −A . On
C − A A
2 2 A + B
aurait donc cos2θ  = 0 , donc A = B = 0 , ce qui est aussi impossible.  A 
b) Translation du repère
2 2L’équation est maintenant A' x' +B' y' +2C' x'+2D' y'+E'= 0 avec (A', B') ≠ (0,0) .
2 2 2 2
 C'  D' C' D'
• Si A'≠ 0 et B'≠ 0 , l’équation équivaut à A' x'+ + B' y'+ + E'− − = 0 .     2 2A' B' A' B'   Coniques 2

C' D' r r 
Donc si Ω est le point de coordonnées − ,− dans (O,u,v) , l’équation de la  
A' B' 
r r 2 2courbe dans le repère (Ω,u,v) est de la forme : A' X + B'Y + F'= 0 avec
(A', B') ≠ (0,0) .
2 2C' C' 
• Si A'≠ 0 et B'= 0 , l’équation équivaut à A' x'+ + 2D' y'+E'− = 0 . Donc si Ω   2A' A' 
C' r r 
est le point de coordonnées − ,0 dans (O,u,v) , l’équation de la courbe dans le repère  
A' 
r r 2
(Ω,u,v) est de la forme : A' X + 2D'Y + F'= 0 avec A'≠ 0 .
2 2D' D' 
• Si A'= 0 et B'≠ 0 , l’équation équivaut à B' y'+ + 2C' x'+E'− = 0 . Donc si Ω   2B' B' 
D' r r 
est le point de coordonnées 0,− dans (O,u,v) , l’équation de la courbe dans le repère  
B' 
r r 2(Ω,u,v) est de la forme : B'Y + 2C' X + F'= 0 avec B'≠ 0 .
c) Equations réduites
On peut remarquer que l’on peut supposer le coefficient du premier terme positif, et
donc toute courbe plane (Γ) du second degré admet une équation de l’un des 4 types :
2 2
• A' X + B'Y + F'= 0 avec A'> 0 et B'> 0 .
o Si F'> 0 , alors (Γ) = .
o Si F'= 0 , alors (Γ) = {Ω}.
2 2
X Y
o Si F'< 0, alors la courbe (Γ) admet pour équation réduite + = 1 en
2 2
a b
F' F'
posant a = − et b = − . Une telle courbe s’appelle une « ellipse ».
A' B'
2 2• A' X + B'Y + F'= 0 avec A'> 0 et B'< 0 .
A'
o Si F'= 0 , alors l’équation équivaut à Y = ±X − . Donc la courbe (Γ) est
B'
la réunion de deux droites sécantes en Ω .
2 2
X Y
o Si F'< 0, alors la courbe (Γ) admet pour équation réduite − = 1 en
2 2
a b
F' F'
posant a = − et b = . Une telle courbe s’appelle une « hyperbole ».
A' B'
2 2
X Y
o Si F'> 0 , alors la courbe admet pour équation réduite − = −1 en (Γ)
2 2a b
F' F'
posant a = et b = − . Une telle courbe est aussi une « hyperbole ».
A' B'
r r
On donne le même nom car l’on remarque que changer le repère (Ω,u,v) en
r r
(Ω,v,u) intervertit X et Y, et donc intervertit les deux derniers cas.
2• A' X + 2D'Y + F'= 0 avec A'> 0 .
o Si D'= 0 :
Si F'> 0 , alors (Γ) = .
r
Si F'= 0 , alors est l’axe d’équation X = 0 . (Γ) (Ω,v)
F'
Si F'< 0, alors l’équation équivaut à X = ± − , donc la courbe (Γ) est
A'
r
la réunion de deux droites parallèles à l’axe (Ω,v) . Coniques 3

2D' F' 2
o Si D'≠ 0 , alors l’équation équivaut à X = − Y + , donc la courbe  
A' 2D' 
r r2
(Γ) admet pour équation réduite X = 2 pY dans le repère (Ω',u,v) où
D' F' r r 
p = − et où Ω' a pour coordonnées 0,− dans (Ω,u,v) . Une telle  
A' 2D' 
courbe s’appelle une « parabole ».
2• B'Y + 2C' X + F'= 0 avec B'> 0 . On peut remarquer que si l’on intervertit X et
Y, on retrouve la forme précédente. Donc :
o Si C'= 0 :
Si F'> 0 , alors (Γ) = .
r
Si F'= 0 , alors (Γ) est l’axe (Ω,u) d’équation Y = 0 .
F'
Si F'< 0, alors l’équation équivaut à Y = ± − , donc la courbe (Γ) est
b'
r
la réunion de deux droites parallèles à l’axe (Ω,u) .
2o Si C'≠ 0, alors la courbe (Γ) admet pour équation réduite Y = 2 pX . Une
telle courbe est aussi une « parabole ».
Conclusion Toute courbe du second degré non vide est :
- soit réduite à un point.
- soit la réunion de deux droites sécantes.
- soit la réunion de deux droites parallèles, éventuellement confondues.
2 2
x y
- soit une ellipse d’équation réduite + = 1 (cercle si a = b ).
2 2a b
2 2 2 2
x y x y
- soit une hyperbole d’équation réduite − = 1 ou − = −1.
2 2 2 2a b a b
2 2 - soit une parabole d’équation réduite x = 2 py ou y = 2 px .
2) Etude des courbes
a) Etude de la parabole
2 On étudie d’abord la parabole d’équation réduite x = 2 py avec p ≠ 0 , qui est la
1 2 courbe représentative de la fonction f définie par : f (x) = x .
2 p
La fonction est paire. Son sens de variations et ses limites dépendent du signe de p.
Si p > 0 : Si p < 0 :
x − ∞ 0 + ∞ x − ∞ 0 + ∞
f ' f ' − 0 + + 0 −
+ ∞ + ∞ 0
f f
0 − ∞ − ∞

On dira que l’on a une parabole de sommet O(0,0) , d’axe d’équation x = 0, de paramètre p.
2 On en déduit l’étude de la parabole d’équation y = 2 px en inversant les rôles de x et y. Coniques 4



Si p > 0 : Si p < 0 :

On dira que l’on a une parabole de sommet O(0,0) , d’axe d’équation y = 0 , de paramètre p.
b) Etude de l’ellipse
2 2
x y
L’ellipse d’équation réduite + = 1 admet un centre de symétrie O(0,0) et deux
2 2
a b
axes de symétrie d’équations x = 0 et y = 0 .
x ≥ 0
On limite donc l’étude au quart de plan . Cette partie de l’ellipse est la courbe 
y ≥ 0
b 2 2représentative de la fonction f définie sur [0, a] par : f (x) = a − x .
a
− bx
Elle est dérivable sur et f '(x) = ≤ 0 . [0, a[
2 2a a − x
x 0 a
b f ' 0 −
b
f
0
a −a f (x) − f (a) − b a + x
lim = lim = −∞ .
− −x→a x→ax − a a a − x
Donc la tangente en a est verticale. −b
On complète la courbe à l’aide des
symétries.
Si a = b , on a évidemment le cercle de centre O et de rayon a.
Si a ≠ b , on dira que l’on a une ellipse de centre O, de sommets A(a,0) , A'(−a,0) ,
B(0,b) et B'(0,−b) , de demi-grand axe a si a > b , ou b si a < b.
2 2
x y
Remarque : L’ellipse d’équation réduite + = 1 est l’image du cercle C de
2 2
a b
centre O et de rayon a (appelé cercle principal de l’ellipse) par l’affinité orthogonale f
r b 2 2 2 d’axe (O,i ) et de rapport . En effet l’équation de ce cercle est x + y = a , et
a
b
l’image du point M (x, y) par l’affinité est le point M '(x', y') avec x'= x et y'= y .
a
2 2 2a x y2 2 2
Or M '∈ f (C ) si M ∈C , donc si x' + y' = a , donc si + = 1.
2 2 2b a b
c) Etude de l’hyperbole
2 2
x y
On étudie d’abord l’hyperbole d’équation réduite − = 1. Elle admet un centre
2 2a b
de symétrie O(0,0) et deux axes de symétrie d’équations x = 0 et . y = 0Coniques 5

x ≥ 0
On limite donc l’étude au quart de plan . Cette partie de l’hyperbole est la 
y ≥ 0
b 2 2
courbe représentative de la fonction f définie sur [a,+∞[ par : f (x) = x − a .
a
2bx a
f (x) = 1− si x > 0, donc lim f (x) = +∞ .
2 x→+∞a x
2 b bx a − ab b  −  De plus f (x) − x = 1− −1 = . Donc lim f (x) − x = 0 .  2  2 x→+∞a a x a   a   x 1− +1
2 x 
b
Donc la courbe admet en + ∞ une asymptote d’équation et se trouve en y = x
a
dessous de son asymptote.
bx
f '(x) = ≥ 0La fonction est dérivable sur ]a,+∞[ et .
2 2a x − a
x a + ∞
f ' +
+ ∞ f
0 a −a
f (x) − f (a) b x + a
lim = lim = +∞ .
+ +x→a x→ax − a a x − a
Donc la tangente en a est verticale.
On complète la courbe à l’aide des
symétries.
b b
La courbe admet deux asymptotes d’équations y = x et y = − x .
a a
On dira que l’on a une hyperbole de centre O, de sommets A(a,0) et A'(−a,0) .
On en déduit l’étude de l’hyperbole
2 2x y
d’équation − = −1 en inversant les
2 2a b
b rôles de x et de y (et donc de a et b).
On peut remarquer que les équations des
a
asymptotes deviennent x = ± y , ce qui
b
−b b
équivaut à y = ± x . Donc les équations des
a
asymptotes restent les mêmes.
On dira que l’on a une hyperbole de centre O, de sommets B(0,b) et B'(0,−b) .
II - Sections planes d’un cône de révolution
Historiquement, les coniques ont été étudiées dès l’Antiquité en astronomie comme
trajectoires de planètes.
Et le mot « conique » vient du mot « cône ».
On appelle conique toute courbe intersection d’un cône de révolution et d’un plan.
Si le plan passe par le sommet, on voit assez facilement que l’intersection est un point,
une droite ou deux droites sécantes.
On se propose donc de déterminer toutes les « formes » de sections planes de cônes de
révolution dans les autres cas. Coniques 6

1) Résolution du problème
Rappel : Si S est un point de l’espace, (Δ) une droite, on appelle cône de révolution (C) de
π 
sommet S, d’axe (Δ) et d’angle de mesure θ ∈ 0, le solide engendré par la rotation  2 
d’une droite (D) passant par S et faisant un angle θ avec (Δ) .
 π
Soit (P) un plan faisant un angle de mesure ϕ ∈ 0, avec l’axe (Δ) et ne contenant pas  2 
le sommet S du cône.
π 
• Supposons d’abord que , c’est-à-dire que l’axe n’est ni parallèle ni ϕ ∈ 0, (Δ) 2 
orthogonal à (P). Soit O le projeté orthogonal de S sur (P) et Ω le point d’intersection de
r r1 1
(Δ) avec (P) . Soit i = OΩ et k = OS .
OΩ OS
rr r r r
On complète pour obtenir un repère orthonormé (O, i , j, k ) de l’espace. Donc (O,i , j)
est un repère orthonormé du plan (P).
Les coordonnées de S sont donc (0,0, s) et celles de Ω sont (ω,0,0) . L’axe (Δ) fait
s
un angle ϕ avec (P), donc tan ϕ = . Donc ω = s cotan ϕ , et donc S(s cotan ϕ,0,0) .
ω
S
ϕ
O
Ω

Un point M (x, y, z) appartient au cône si et seulement si M = S ou si l’angle (SΩ, SM )
a pour mesure θ , donc si SΩ.SM = SΩ × SM × cosθ, ce qui donne :
2 2 2 2 2 2
xs cotan ϕ − s(z − s) = s cotan ϕ + s × x + y + (z − s) × cos θ
Donc la conique (Γ) intersection de (C) et de (P) a pour équation (car z = 0 ) :
2 2 2 2 2 2 2 xs cotan ϕ + s = s cotan ϕ + s × x + y + s × cos θ
2
En élevant au carré et en divisant par s ≠ 0 , on obtient l’équation (1) :
2 2 2 2 2 2 2 2
x (cos θ − cos ϕ) + y cos θ − 2xs sin ϕcos θ + s (cos θ − sin ϕ) = 0 .
• Si ϕ = 0 , l’axe (Δ) est parallèle au plan (P). On reprend le même raisonnement mais
on choisit un point Ω distinct de S sur l’axe (Δ) , donc Ω(ω,0, s) . Donc un point
2 2 2
M (x, y, z) appartient au cône si et seulement si : xω = ω× x + y + (z − s) × cos θ .
2 2 2 Donc la conique a pour équation : xω = ω× x + y + s × cos θ . Or ω ≠ 0 .
2 2 2 2 2 2 Ce qui donne : x (cos θ −1) + y cos θ + s cos θ . C’est l’équation (1) pour . ϕ = 0
π
• Si ϕ = , l’axe (Δ) est orthogonal au plan (P). On reprend le même raisonnement
2 r
mais on choisit un point Ω distinct de O dans le plan (P) pour définir i . L’axe (Δ)
est la droite (SO), donc un point M (x, y, z) appartient au cône si et seulement
2 2 2si SO.SM = SO × SM × cosθ , donc si − s(z − s) = s × x + y + (z − s) × cos θ .
2 2 2 2
Donc la conique a pour équation : s = s × x + y + s × cos θ . Or s ≠ 0 . Coniques 7

π2 2 2 2 2 2
Ce qui donne x cos θ + y cos θ + s (cos θ −1) = 0 . C’est l’équation (1) pour ϕ = .
2
Conclusion :
On a démontré que si le plan ne passe pas par le sommet du cône, il existe un repère
orthonormé dans lequel l’équation de la conique (Γ) est un polynôme du second degré
en x et y.
2) Nature de la conique
On a vu que si S ∉ (P) , il existe un repère orthonormé dans lequel l’équation est :
2 2 2 2 2 2 2 2
x (cos θ − cos ϕ) + y cos θ − 2xs sin ϕcos θ + s (cos θ − sin ϕ) = 0
π  2C’est une courbe du second degré et θ ∈ 0, , donc le coefficient de y est non nul.  2 
On utilise les résultats de la première partie en comparant les signes des coefficients de
2 2 2 2x et y , ce qui revient à étudier le signe de (cos θ − cos ϕ) , donc à comparer ϕ et θ .
• Si S ∉ (P) , il y a trois cas :
2 2o Si ϕ = θ , alors (Γ) est une parabole car cos θ − cos ϕ = 0 .
2 2o Si ϕ > θ , alors (Γ) est une ellipse car cos ϕ < cos θ , donc cos θ − cos ϕ > 0 .
π 2 2 2On aura un cercle si ϕ = car cos θ − cos ϕ = cos θ .
2
2 2o Si ϕ < θ , alors (Γ) est une hyperbole car cos ϕ > cos θ , donc cos θ − cos ϕ < 0 .

Coniques 8

• Si S ∈ (P) , il y a trois cas (coniques dégénérées) :
o Si ϕ > θ , alors (Γ) = {S}.
o Si ϕ = θ , alors (Γ) est une droite passant par S.
o Si ϕ < θ , alors (Γ) est la réunion de deux droites sécantes en S.
III - Définition monofocale
Soit (D) une droite du plan, F un point non situé sur (D) et un réel e strictement positif.
MF
Il s’agit de trouver l’ensemble E des points M du plan tels que = e où H est le
MH
projeté orthogonal de M sur (D).
1) Résolution du problème
(D) Soit K le projeté orthogonal de F sur (D) .
r r1
Soit i = KF et j un vecteur unitaire
KF
r
orthogonal à i , donc vecteur directeur de (D). H M r r
Dans le repère orthonormé (K,i , j) , la droite
(D) a pour équation x = 0 et les coordonnées du
K F point F sont (α,0) .

2 2
Donc un point M (x, y) appartient à E si et seulement si : (x − α) + y = e x , donc
2 2 2 2
si : (1− e )x + y − 2αx + α = 0 .
On obtient donc une courbe du second degré, qui est une conique non dégénérée car le
2coefficient de y est non nul.
On peut aussi remarquer que l’on ne peut pas obtenir un cercle car e ≠ 0 , donc
21 − e ≠ 1.
On dira que E est la conique de foyer F, de directrice (D) et d’excentricité e.
2) Nature de la conique
(D) α 2• Si e = 1, l’équation devient y = 2α x − .  
2 
Soit S le milieu de [KF ] , donc le point de
α 
coordonnées ,0 .  
2 
r r
Si l’on se place dans le repère (S,i , j) , K S F
2
l’équation est Y = 2αX .
Donc si e = 1, l’ensemble E est une parabole de
sommet S milieu de [KF ] , d’axe (KF), de
paramètre p = KF et de concavité vers F.

On se place maintenant dans le cas où e ≠ 1.
2 2 2α α e 2 2Alors, l’équation équivaut à : (1− e ) x − + y = .  2 21− e 1− e 
α 
Soit Ω le point de coordonnées ,0 .  21− e 
2 2r r α e2 2 2
Dans le repère (Ω,i , j) , l’équation est : (1− e )X + Y =
21− e
Coniques 9

2 2 (D) X Y
• Si e < 1, l’équation s’écrit : + = 1
2 2a b
αeαe
avec a = et b = .
2 21− e 1− e
Ω K F On peut remarquer que Ω n’appartient pas
α
à la demi-droite [FK ) car α < . On
21− e
peut aussi remarquer que b < a .
Donc si e < 1, l’ensemble E est une ellipse qui n’est pas un cercle, dont le centre
est situé sur la droite (FK) en dehors de la demi-droite [FK ) , dont les axes de
symétrie sont (FK ) et la droite orthogonale en Ω à (FK). Son grand axe est sur la
droite (FK).
2 2 X Y
• Si e > 1, l’équation s’écrit : − = 1 (D) 2 2a b
αe αe
avec a = et b = .
2 2e −1 e −1
α
K appartient à car . [ΩF] < 0 < α
21− e
F K Donc si e > 1, l’ensemble E est une Ω
hyperbole dont le centre est situé sur la droite
(FK) en dehors de la demi-droite [KF ) , dont
les axes de symétrie sont (FK ) et la droite
orthogonale en Ω à (FK), et dont les
sommets sont sur la droite (FK).
3) Réciproque
Il s’agit de savoir si toute conique peut être définie comme une telle ligne de niveau,
donc de savoir si toute conique possède un foyer, une directrice et une excentricité. De
plus on se pose aussi la question de leur unicité et de leur détermination.
Tout d’abord, en fonction des remarques de l’étude précédente, il faut éliminer les cas
des coniques dégénérées et du cercle. Etudions successivement les autres cas.
a) Etude de la parabole
r
Soit (P) une parabole de sommet S et d’axe (Δ) . Soit i un vecteur unitaire de (Δ)
r r
dirigé vers la concavité de (P) et j un vecteur unitaire orthogonal à i . Donc dans le
r r
2 repère (S,i , j) , l’équation de (P) est : y = 2 px .
D’après l’étude faite au 2), si la parabole (P) possède un foyer, une directrice et une
excentricité, alors nécessairement :
• l’excentricité est e = 1 (sinon ce ne serait pas une parabole).
• le foyer se trouve sur l’axe de la parabole dans le « creux » de la courbe.
• la directrice est perpendiculaire à l’axe en un point K tel que S soit le milieu de [KF ] .
• le paramètre p est la distance KF .
Donc si (F, D,e) existe, il est unique car nécessairement e = 1, F a pour coordonnées
p p 
,0 et (D) a pour équation x = − . Vérifions qu’ils conviennent.  
22 
p p 
On considère donc la conique E de foyer F ,0 , de directrice (D) d’équation x = −  
2 2 
et d’excentricité e = 1. Coniques 10

MF
Donc un point M appartient à E si et seulement si = 1 où H est le projeté
MH
2 2
p p   2orthogonal de M sur (D), donc si : x − + y = x − .    
2 2   
2Donc M appartient à E si et seulement si y = 2 px . Donc E = (P) .
Toute parabole possède une unique excentricité e = 1, un unique foyer F et une unique
directrice (D).
p 2
Si son équation réduite est y = 2 px , son foyer est F ,0 et sa directrice (D) a pour  
2 
p
équation x = − .
2
p 2Si son équation réduite est x = 2 py , son foyer est F 0, et sa directrice (D) a pour  
2 
p
équation y = − .
2
Le deuxième cas est obtenu en inversant les rôles de x et y, et donc de a et b.
b) Etude de l’ellipse
r
Soit (E) une ellipse (qui n’est pas un cercle) de centre Ω . Soit i un vecteur unitaire de
r r
son axe de symétrie qui porte le grand axe et j un vecteur unitaire orthogonal à i .
2 2r r x y
Donc dans le repère (Ω,i , j) , l’équation de (E) est : + = 1 avec a > b .
2 2a b
D’après l’étude faite au 2), si l’ellipse (E) possède un foyer, une directrice et une
excentricité, alors nécessairement :
• l’excentricité est e < 1 (sinon ce ne serait pas une ellipse).
• le foyer F se trouve sur l’axe de l’ellipse qui porte le grand-axe, à l’intérieur de (E).
• la directrice est perpendiculaire à cet axe en un point K extérieur à l’ellipse mais qui
n’appartient pas à la demi-droite [FΩ) .
Donc si (F, D,e) existe, alors nécessairement e < 1, F a pour coordonnées (c,0) et (D) a
pour équation x = d avec c < a , d > a , et c et d sont de même signe.
On considère donc la conique E de foyer F (c,0) , de directrice (D) d’équation x = d
(avec cd > 0 ) et d’excentricité e < 1. Donc un point M appartient à E si et seulement si
MF 2 22 2= e où H est le projeté orthogonal de M sur (D), donc si : (x − c) + y = e (x − d ) .
MH
2 2 2 2 2 2 2
Donc M appartient à E si et seulement si (1− e )x + y − 2(c − de )x = e d − c .
2Pour que E = (E) , il faut que c − de = 0 car Ω est centre de symétrie de (E).
2 2 2 2 2 2Alors e d − c = e d (1− e ) .
2 2x y
Donc M appartient à E si et seulement si + = 1.
2 2 2 2 2e d e d (1− e )
2 2 2 2 2 2 2 2Donc si et seulement si c − de = 0 , a = e d et b = e d (1− e ) . E = (E)
2 2 2b a − b2
On obtient 1− e = , donc une unique excentricité e = ( 0 < e < 1).
2a a
2a a 2
On obtient ensuite deux couples (c, d ) solutions car d = ± = ± et c = de .
2 2e a − b

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