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Applications et Fonctions
 I – Applications
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APPLICATIONS ET FONCTIONS
ECS 1
1) Relation binaire Définition : Une relation binaire est un triplet formé d’un ensembleE départ », « de d’un ensembleF appelée vide de « graphe » non« d’arrivée » et d’une partie de la relation. Un élémentxdeEest en relation avec un élémentydeFsi (x,y) . La relation est donnée soit par le triplet (E,F , soit plus généralement par une, ) caractérisation de cette appartenance. Exemples: Avec:youyoux2y21 oueouylnx. 2) Application Définition : Une applicationf une relation binaire ( estE,F, ) que pour tout telle x E, il existe un unique élémenty Ftel que (x,y On note) .y f(x) etyest appelé image dexparf, tandis quexest appelé antécédent dex. Tout élément deEest en relation avec un et un seul élément deF, donc possède une image et une seule. Mais certains éléments deF avoir plusieurs antécédents peuvent ou aucun. Exemples: Avec:y,x2y21 etylnx sont pas des ne applications. Par contreyety ele sont. Notation : L’ensemble des applications deEdansFest noté(E,F) ouFE. Définition : On appelle identité d’un ensembleEl’application deEdansE Id, notéeE, définie par :xEIdE(x)x. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on note simplement Id . 3) Restriction et prolongement Lorsque l’on change d’ensemble de départ ou d’arrivée, on change l’application, et donc ses propriétés. Définition : Sifest une application deEdansFet siAest une partie non vide deE, on appelle restriction defàAl’application notéefAdeAdansFqui coïncide avecfsur A, donc définie par : A f/A(x)f(x) . Inversement, siEest une partie d’un ensembleBet sigest une application deBdans F, on dira quegest un prolongement defàBsig/Ef. La restriction defàAest unique, alors quefpeut admettre plusieurs prolongements à un même ensembleB. Exemple: La fonction dedansdéfinie parf(x)xadmet pour prolongements àles fonctionsgethdedansdéfinies par :g(x)xeth(x)x. Ici, on a parlé de changement de l’ensemble de départ. Lorsque l’on change d’ensemble d’arrivée, on change l’application, mais il n’y a pas de terme particulier. 4) Composition On peut composer des applications si les ensembles se correspondent. Définition : Sif est une application deE dansF etg une application deF dansG, la composéegf l’application de estE dansG définie par :x E(g f)(x)g[f(x)] .
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