Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Dénombrement

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 369
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Dénombrement

- 1 -

DENOMBREMENT

ECS 1

  I - Généralités   1) Cardinal d’un ensemble Exemple On : récite l’alphabet toujours de la même manière : on définit une application de {1,...,26} dans l’ensembleE des lettres et ainsi, on compte toutes les lettres, sans jamais les compter deux fois. C’est une bijection car toute lettre possède un numéro (antécédent) et un seul. Remarque : Sinetpsont des entiers naturels non nuls, il existe une bijection de1,n  dans1,psi et seulement sin p. Définition : SoitEun ensemble non vide.   S’il existe un entiern bijection de* et une1,ndansE, alors cet entiernest unique. On dira queE  Card est un ensemble fini et que : E n .   S’il existe une bijection de* dansE, on dira queE un ensemble infini est dénombrable.   Sinon, on dira queEest un ensemble infini non dénombrable. Par convention, est un ensemble fini et Card( .) 0 Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments. On définit aussi le cardinal d’un ensemble infini, mais c’est beaucoup plus compliqué. Exemples: L’ensemble des nombres impairs etsont infinis dénombrables.  et [0,1] sont infinis non dénombrables. 2) Propriétés Théorème : SiE etF deux ensembles finis tels que sontE, alors Card(E) Card(F Si) .Eet Card(E) Card(F) , alorsE. Pour montrer que deux ensembles sont égaux, il suffit de montrer que l’un est inclus dans l’autre et qu’ils ont le même nombre d’éléments. Théorème : SiAetBsont deux parties d’un ensemble finiE, alors : Card(AB) Card(A) Card(B) Card(A B) . En particulier si A B (AetB Card(disjointes) :AB) Card(A) Card(B) . Evident si A B : on compte les éléments deApuis ceux deBet on additionne. C’est le principe du berger : il compte les moutons noirs, puis les moutons blancs ! Si A B , en comptant les éléments deA, puis ceux deB, on compte deux fois les éléments communs. Il faut donc enlever Card(A B) . Plus précisément, on se ramène au premier cas :AB AB' avecB'B A( doncAetB' disjointes). La généralisation est la formule de Poincaré (ou du crible) qui permet de calculer le cardinal de la réunion denparties. On ne la démontrera que pour n 3 : ABC(AB)C. Donc : Card(ABC) Card(AB) Card(C) Card[(AB)C] . Or : (AB)C(A C)(B C) . Donc : Card[(AB)C] Card(A C) Card(B C) Card[(A C) (B C)] . Et (A C) (B C)A B C. En remplaçant, on obtient :

Card(ABC) Card(A) Card(B) Card(C) Card(A B) Card(B C) Card(AC)Card(ABC) Pour n  avec une démonstration analogue, on obtient :4 ,