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Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Dénombrement

De
8 pages
Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
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Dénombrement
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DENOMBREMENT
ECS 1
 I - Généralités  1) Cardinal d’un ensemble Exemple On : récite l’alphabet toujours de la même manière : on définit une application de {1,...,26} dans l’ensembleE des lettres et ainsi, on compte toutes les lettres, sans jamais les compter deux fois. C’est une bijection car toute lettre possède un numéro (antécédent) et un seul. Remarque : Sinetpsont des entiers naturels non nuls, il existe une bijection de1,n dans1,psi et seulement sin p. Définition : SoitEun ensemble non vide.  S’il existe un entiern bijection de* et une1,ndansE, alors cet entiernest unique. On dira queE Cardest un ensemble fini et que :E n.  S’il existe une bijection de* dansE, on dira queE un ensemble infini est dénombrable.  Sinon, on dira queEest un ensemble infini non dénombrable. Par convention, est un ensemble fini et Card( .) 0 Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments. On définit aussi le cardinal d’un ensemble infini, mais c’est beaucoup plus compliqué. Exemples: L’ensemble des nombres impairs etsont infinis dénombrables.  et [0,1] sont infinis non dénombrables. 2) Propriétés Théorème : SiE etF deux ensembles finis tels que sontE, alors Card(E) Card(F Si) .Eet Card(E) Card(F) , alorsE. Pour montrer que deux ensembles sont égaux, il suffit de montrer que l’un est inclus dans l’autre et qu’ils ont le même nombre d’éléments. Théorème : SiAetBsont deux parties d’un ensemble finiE, alors : Card(AB) Card(A) Card(B) Card(A B) . En particulier siA B(AetB Card(disjointes) :AB) Card(A) Card(B) . Evident siA B: on compte les éléments deApuis ceux deBet on additionne. C’est le principe du berger : il compte les moutons noirs, puis les moutons blancs ! SiA B, en comptant les éléments deA, puis ceux deB, on compte deux fois les éléments communs. Il faut donc enlever Card(A B) . Plus précisément, on se ramène au premier cas :AB AB' avecB'B A( doncAetB' disjointes). La généralisation est la formule de Poincaré (ou du crible) qui permet de calculer le cardinal de la réunion denparties. On ne la démontrera que pourn3 : ABC(AB)C. Donc : Card(ABC) Card(AB) Card(C) Card[(AB)C] . Or : (AB)C(A C)(B C) . Donc : Card[(AB)C] Card(A C) Card(B C) Card[(A C) (B C)] . Et (A C) (B C)A B C. En remplaçant, on obtient :
Card(ABC) Card(A) Card(B) Card(C) Card(A B) Card(B C) Card(AC)Card(ABC) Pourn avec une démonstration analogue, on obtient :4 ,
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