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Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Probabilités discrètes

De
16 pages
Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Voir plus Voir moins

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Lois
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
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5
5
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5
5
5
5
6

3

Variablesal´eatoires:g´ene´ralite´s
3.1De´finitions,exemple..............
3.2Fonctiondere´partition.............
3.3Compose´eparunefonctiong. . . . . . . . .
3.4Esp´eranceetvarianced’unevariableal´eatoire

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deprobabilite´usuelles
Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loihyperg´eom´etrique................
Loig´eom´etrique....................
Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
8
8

2

Ge´ne´ralit´essurlesprobabilit´es
2.1D´efinitions,vocabulaire............
2.2Probabilit´esurununiversfini.........
2.3Probabilit´esconditionnelles..........
2.4Ind´ependance..................

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Table

desmatie`res

1

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3.

Chapitre

Rappelsenth´eoriedesensemblesetd´enombrements
1.1 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1Ope´rationssurP(E. . . . . . . . . . . . . . .) . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Complementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.1.3 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4Produitcart´esien.............................
1.2D´enombrement..................................
1.2.1Cardinald’unere´uniond’´el´ementsdeP(E . . . . . . . . . . . . .) .
1.2.2Cardinald’unproduitcarte´sien.....................
1.2.3p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-listes .
1.2.4ple´’dsetsil-tsnctiissdntme´eegemtn.so,aurrna............
1.2.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Nombre d’applications d’un ensembleEvers un ensembleF. . . . .
1.2.7Utilisationd’unebijectionpourde´nombrerunensemble.......
1.2.8 Utilisation d’une partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3Propri´et´esdescoefficientsdubinoˆme......................
1.3.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2Syme´trie:.................................
1.3.3 Formule du triangle de Pascal : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5FormuledubinoˆmedeNewton.....................
1.3.6 Somme sur l’indice “d’en haut” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Formule de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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discre`tes

Probabilite´s

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Juillet 2010

Valbonne

Probl`emesclassiquesenprobabilite´s
5.1De´termineruneloideprobabilite........
´
5.2 Chaˆıne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . .

5

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1

Brigitte

Bonnet,

Lyce´eInternationalde

1

Rappelsenth´eorie

2

desensemblesetde´nombrements

1.1 Ensemble des parties d’un ensemble

SoitEumelbensnensee.L’desembleseitrapse´tontseP(E).

1.1.1Op´erationssurP(E)

Ond´efinitlesdeuxloisdecompositioninterneeur´onnietintersectionpar :

A∪B={x∈E / x∈Aoux∈B}et A∩B={x∈E / x∈Aetx∈B}

Cesdeuxloissontcommutatives,associatives,etdistributivesl’uneparrapport`al’autre:

(A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C)

1.1.2Compl´ementaire
¯
Atoute´l´ementAdeP(E)peonasutcisoairereoscnmolpe´emtnAd´efinipar:

Proprie´t´
es :

¯
A={x∈E / x∈/ A}

¯
1.∀A∈ P(E)A=A
¯ ¯
2.∀A∈ P(E)A∪A=E et A∩A=∅
¯ ¯ ¯ ¯
3.∀A∈ P(E)∀B∈ P(E)A∪B=A∩B et A∩B=A∪B
Cettederni`ereproprie´t´eestconnuesouslenomdeloi de Morgan.

1.1.3 Partition

On appelle partition deEtoute famille{Ei/ i∈I}deP(E) telle que :
[Ei=E et∀(i j)∈I2Ei∩Ej=∅
i∈I

1.1.4Produitcart´esien

SoientpensemblesE1 E2 . . .  Ep.rueLdorpctiu´tran,noesiet´eE1×E2×. . .×Ep, est l’ensemble desp-uples
(x1 x2 . . .  xp) tels que, pour 1≤i≤p xi∈Ei.
Exemple :lembesne’le´silitusn,nousavoc´edentsrtserpe´elcsahipnsDaRncaitduro,pedisnetre´nfois
l’ensembleR:
n
R=R×R×. . .×R

1.2D´enombrement

De´nombrerunensemble,c’estde´terminerlenombredesese´l´ements,c’est-a`-diresoncardinal,note´card(E).
Dans la suite de ce paragraphe, on utilisera uniquement des ensembles de cardinal fini.
Lesparagraphessuivantsconcernentdesme´thodesded´enombrement,soitdefa¸cong´en´erale,soitd’ensembles
particuliers.

1.2.1

Cardinald’uner´euniond’´el´ementsdeP(E)

Th´eor`eme1:card(A∪B) =card(A) +card(B)−card(A∩B)

Ge´ne´ralisation:formuleducribledePoincar´e

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

Th´eor`eme1bis:

3

X

n n
card([Ai) =Xcard(Ai)−Xcard(Ai∩Aj) +card(Ai
i=1i=1 1≤i<j≤n1≤i<j<k≤n
+. . .+ (−1)n−1card(A1∩A2∩. . .∩An)

Cas d’une partition :

n n
card([Ai) =Xcard(Ai)
i=1i=1

Eneffetdanscecas,lesintersectionsdeuxa`deux,troisa`trois,etc,sonttoutesvides.

1.2.2Cardinald’unproduitcarte´sien

The´oreme2:
`

1.2.3

p-listes

p
card(E1×E2×. . .×Ep) =Ycard(Ei)
i=1

SoitEun ensemble de cardinaln(entier naturel).

´
De´finiti1:’CseeUtnpetsi-luensud’ietleme´orendtosndne´eeEetdsep´el´eme´le´nemeendustnetdEEp=E×E×. . .×E.
on
.

D’apre`sleparagraphepre´ce´dent,lenombredep-listes deEest doncnp.
Exemple :estret6l6t2es4lettres´ecritsaevucanplahebdt2eLebmonedertom“ed”s4.

1.2.4

pentsl´eminctdistraar,suonestgnmeil-e´’dsets

∩Aj

∩Ak)

Soitp≤n. Unep-liste d’ de mentplee´emtnsde´E,
D´efinition2:est unesuiteeodroe´nnedme´le´pinstcteneemsdditcstnitsi´dlset´neEesdu,oEgeanrr.a

Soit (x1 x2 . . .  xp) uneptsde-iledstcnme´eel’´tiissdntE. Il y anchoix possibles pourx1, puis, pour cha-
cun de ces choix,n−1 choix possibles pourx2, etc. Le nombre depel’´sdteis-lcnstsiittndse´emdeEest
donc :
Apn=n(n−1)(n−2). . .(n−p (+ 1) =n−n!p)!

D´finition 3
e :

Consequence :
´

Une permutation deEest un arrangement desnstneme´l´eedE.

Le nombre de permutations deEestn!.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

1.2.5

Combinaisons

4

D´efinition4:Soitp≤n. Une combinaison depesdntme´eel´E(combinaison deparmi´ementsp´len)
est un sous-ensemble (ou partie) deEcontenantpeelntme.s´
´

Ladiffe´renceentreunepdetslisted’´-dssiitcnlee´emtnEet une combinaison depneme´le´tsdeE, c’est qu’il
n’y a pas de notion d’ordre dans une combinaison.
Le nombre depimrapl-sietds´’le´ementsdistinctsnest donc le nombre de combinaisons depparmini´etiplm,lu
par le nombre d’“ordres” possibles sur cespe´´lbmonederptidelrareutntmeenem,atssesurcionsutatpermp
e´le´ments.Onadonc:
p!pn(=n−n!p donc)! etpn=p!(nn!−p)!
Les nombresnpse´lsontappenˆbieomffieocneicudst.

1.2.6 Nombre d’applications d’un ensembleEvers un ensembleF.

SoitEun ensemble de cardinalnetFun ensemble de cardinalp.

Le nombre d’applications deEversFest le nombre denli-deme´lstnesetse´’dFetchaque.Eneffte´´lmene
deEadmet une image unique par chaque application. Une applicationfstdoeractnccaire´ee´slrapan-liste
desnstl´´eenemf(x1) f(x2) . . .  f(xn),o`uE={x1 x2 . . .  xn}.
Le nombre d’applications deEversFest doncpn
.

Le nombre d’applications injectives deEversFest le nombre dentnemsids´’dse´le-lteissteditcnF. En
effetuneapplicationinjectiveestuneapplicationtelleque2´ele´mentsdistinctsdeEontforc´etnemami2seg
distinctes.
Le nombre d’injections deEversFest donc (pp−!n)! .
On remarque que ce nombre est non nul seulement sip≥n.

Sicard(E) =card(F) =n, le nombre de bijections deEversFestn!.

1.2.7

Utilisationd’unebijectionpourde´nombrerunensemble

SoientEetFdeux ensembles de
Th´eore`me3:S’il existe unebijectiondeEversacrFi,dcnaarud(fixE.s)=incard(F).

Exemple 1.SoitE= [[1 n]], avecn≥4, et soitS4(E) ={(x y z t)/ x < y < z < t}.
A tout quadruplets (x y z t) deS4(E) on associe le sous-ensemble deEstnea4´el´em`{x y z t}. L’application
ainsid´efinieestunebijection.Orlenombredesous-ensemblesdeEntmes´teesel4´`a4n.
Donccard(S4(E)) =4n.

Exemple2.(Casparticulierduprobl`emedes“trousdeKaplansky”)
Soitnun entier tel quen≥5 etA={(a b c)∈[[1 n]] < b < c/ aeta b cutecs´onscpantsoenfis}
Soitfesurefiniond´catippilla’Apar :f((a b c)) = (a b−1 c−2).
L’ensemble image de cette application est l’ensembleBdes triplets (x y z) tels que 1≤x < y < z≤n−2.
Chaque triplet (x y z) deBnsapouruniqeuna´tcee´edtnadA: (x y+ 1 z+ 2).
Donc l’applicationfest une bijection deAversB.
Parconse´quent,paranalogieaveclere´sultatdel’exemple1,
card(A) =n−23

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

1.3.5

FormuledubinˆomedeNewton

1.3.3

Formule du triangle de Pascal :

m
X

k=n

1.3.6

Somme sur l’indice “d’en haut”

∀(n k)/1≤k≤n

kkn=nkn−−11

kn=m+ 1
n+ 1

n
(a+b)n=kX=nkakbn−k
0

p−1

pn=np−−11+n

∀(n p)/

1≤p≤n

5

Sym´etrie:

1.3.2

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

1.3.4

1.2.8

nn−p=np

Pourd´enombrerunensemble,onpeutlede´composerenpartiesdisjointesplusfacilesadenombrer.
` ´

Utilisation d’une partition

1.3.1 Conventions
Sik > n,ouk <0, on convient que :nk= 0

Exemple3:de´nombrementdeP(E)
SoitEun ensemble de cardinaln.
SoitEkle sous-ensemble deP(Espar´ededeties)itutocsnEde cardinalk.
Alorscard(Ek) =nk.
Comme les ensemblesEksont tous disjoints, et que[Ek=P(E),{Ek/0≤k≤n}est une partition de
0≤k≤n
P(E).
On a donc :card(P(E)) =k=Xn0Ek=k=Xn0kn= 2n
(D’apre`slaformuledubinˆomedeNewton.)

Exemple 4 :SoitA={(X Y)∈(P(E))2/ X⊂Y}.
On poseAk={(X Y)∈(P(E))2/ X⊂Y et card(Y) =k}.
Ond´efinitainsiunepartitiondeA:
n n
card(A) =Xcard(Ak) =X nk2k= 3n
k=0k=0

1.3Propri´ete´sdescoefficientsdubinˆome

Juillet 2010

Remarque :ertnrecruse´tatlrrpacu´eenrr.cepnueOalemt´eg´emoentd

1.3.7

2

Formule de Vandermonde

6

i=Xn0ni mk−i=n+k

Ge´n´eralit´lesprobabilite´s
es sur

2.1De´finitions,vocabulaire

m

SoitunensembleΩ,appele´univers.
On appelletribu, ouσla-g`ebre, de parties de Ω, tout sous-ensembleAdeP(Ω) tel que :
•neme´le´tseΩtdeA
D´efinition5:• ∀A∈ A A∈ A
•elnfimalituferuotPoeiuo´dnemorbbael(Aied)d’´el´ementsA,
SAi∈ A. (Astsebltaoueparrlun´e.oi)n

Le couple (ΩAetalo)espel´rsapunivers probabilisable.
Les´ele´mentsdeΩsontdes´e´tseevtnauildetsl´´eeneml,seAsont desmenestne´ve´.

Application :reoiat´ealceenrioderid-a`-tse’c(Siopxe´nueetceueneffhadundpeΩ),rdsase´reltne´dtatlu
estl’ensembledesr´esultatspossiblesdecetteexpe´rience.
Parexemplesionlanceund´e`a6facesnum´erot´eesde1`a6,onpourraprendreΩ={123456}etA=P(Ω).

Ilyadeuxfa¸consdeconsid´ererles´eve´nements:soitcommeun´el´ementdeAraitnupedee`--aiderc,e’ts
Ω,soitcomme“quelquechose”quipeuteˆtrevraioufaux,arriverounepasarriver,autrementditunepro-
position logique.
Enreprenantl’exempledulancerdede´,l’e´ve´nement{246}cerestuntatdulanesrrcoluse´reL“:a`dnop
nombre pair”.

Onditquel’´eventualite´ωesilae´rte´’lne´vnemeAsiω∈Aseluattqeeuel´rt`eniradlaCevire.ωeriencedel’exp´
ale´atoireve´rifielapropositionquid´efinitA.
Parexemple,lere´sultat“2”r´ealisel’´eve´nement“Ler´esultatdulancerestunnombrepair”:2∈ {246}.

Letableausuivante´tablitlacorrespondanceentrelevocabulaireensemblisteetlevocabulairelogique.

Ω

A∩B=∅
A
A∩B
A∪B
A⊂B
A=B
ω∈A

Eve´nementcertain
Eve´nementimpossible
AetBsont incompatibles
Eve´nementcontrairedeA
AetB
AouB
A⇒B
A⇔B
ω´raeilesA

D´finition 6 :ocnniUsmyspta`etimbleesc2oa`m2pleettddo’n´etvle´anreu´emneinotnsΩ.stem´ee,forndeΩitioaptrucendtno’Cserambno´eel’´edbldsteneme´e´’dne´evestuimllenafoedufieinAments.
e

Proprie´t´e:Soit (Ai)i∈ItsrolA.Ωe´ve´tuoelsdntmersveni’untneme’´ev´enecompletdystse`emnuBSe
d´ecomposesurceS.C.E.delafa¸consuivante:
B=[(B∩Ai)
i∈I

Cas particulier :ottue´´vnemenetPourA,{A A}`tutsnse´ev´etd’omplemec.stnemene
ys

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

D´efinition7:

Proprie´te´s:

7

Unebriobapt´liesur un univers probabilisable (ΩA) est une applicationPdeAvers [0v´1]t:anifier
•P(Ω) = 1
•SiAetBocpmstniel,stabiux´entdeemenv´enosP(A∪B) =P(A) +P(B)
On dit alors que (ΩA Pis´e.probabiluninevsr)seut

1.P(∅) = 0
2. Pour tout couple (A Bs,mente´en´’ved)P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
3.Ge´ne´ralisation:FormuleducribledePoincare´:

4.

Th´r`eme4:
eo

n n
P([Ai=XP(Ai) +. . .+ (−1)p−1XP(Ai1∩Ai2∩. . .∩Aip) +. . .
i=1i=1 1≤i1<i2<...<ip≤n
+(−1)n−1P(A1∩A2∩. . .∩An)

Conditionpourqu’unefamilled’´eve´nementssoitunsyst`emecompletd’e´ve´nements:

(Ai)i∈I´ve´’dtelpmocemet`ysnstues:tniselemtseusi,eentsenem
The´ore`me5:•CXhaPqeu(Asesiladnuet´li´eerve´euantAiet un seul, ou :
•i) = 1 et les (Ai.s)an2oapmocnit`2selbit
i∈I

2.2Probabilite´surununiversfini

Soit Ω ={ω1 ω2 . . .  ωn}un univers de cardinaln.
n
Soitp1 p2 . . .  pnnlessqru´ee:elspoousniultsitfesnmorbXpi= 1.
i=1
Alorscesnombresd´efinissentuneprobabilite´sur(ΩP,del(Ω))tn:eiuavocsnfa¸a
∀A∈ P(Ω) P(A) =Xpi
i/ωi∈A

En particulier:P({ωi}) =pi.

Lecasleplusfr´equentestl’uqe´orpibibat´lie, outie´baliroemnufiobpr:

Paborpaltue´tilibesrmfonisqorΩlurstoueesleuspiueer,xuagetnexst´on
D´efinition8: 11 =
et on a donc :P({ωi}) =card(Ω)n

Dans ce cas,

∀A∈ P(Ω)

card(A)nombre de cas f avorables
= =
P(A)card(Ω)nombre de cas possibles

Lesprobl`emesdecalculdeprobabilit´essontramen´es`adesproble`mesdede´nombrements.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

2.3

Probabilit´esconditionnelles

8

SoitAvirenunutn’deneme(Ωlis´babispro´eevn´uA P), tel queP(A)6= 0.
Laprobabilit´econditionnellerelativementa`Aest l’applicationPAdeAvers [0]1´dfieepni:ar
De´finition9:P(B∩A)
∀B∈ APA(B) =
P(A)

L’applicationPAprobnuneit´eabilbteise:teffenE.
•PA(Ω) =P(PA(A∩)Ω)=PP((AA)1=)
•SiBetCsont incompatibles,B∩AetC∩Asont incompatibles et
PA(B∪C) =P((PB∪(AC))∩A=)P((B∩PA()A∪()C∩A))=P(B∩PA+)(PA()C∩A)=PA(B) +PA(C)

P i´t´
ropr e es :

1.Foborplibalumrsedepos´eesit´escom

Th´eor`eme6:SP(iotA1(A∩i)A21≤i∩≤.n. .u∩neAfn=lelima)P(d’A´e1v´)ePnAe1e(mAn2ts)PtAe1ll∩eA2q(uAe3P).(..A1P∩A1A∩2A2∩∩.....∩.A∩n−A1n)(A6=n:lors)0.A

Cetteformuleestutileenparticulierpourlesprobl`emesdetiragesausortsuccessifsnonind´ependants
entre eux.

2.elatotse´tilibabrospdelemuorF.s

The´ore`me7:

Soit (Ai)i∈Iementsenou.Pourtcemelpmo’dte´ve´unsyst`´´tveemtnB:
ene
P(B) =XP(B∩Ai) =XP(Ai)PAi(B)
i∈I i∈I

Cetteformuleserttr`esfre´quemment,de`squel’oncherche`acalculerlaprobabilite´d’une´ve´nement“com-
plique´”:onde´composealorscete´venementa`l’aided’unsyste`mecompletd’´ev´enementsjudicieusement
´
choisi.

3.Formule de Bayes

2.4

Soit (Ai)i∈Icemotme’de´lpteemenv´enourtts.Pvee´uo´ttnenemysnsuBtel queP(B)6= 0 :
`
=
The´ore`me8:PB(Aj)XP(AP(jA)iP)APjA(iB)(B)
i∈I

Inde´pendance

D´efinition10:e´veemenstnDeux´AetBsonti´endndpetsansi, et seulement si,P(A∩B) =P(A)P(B)

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

Remarques

9

1.L’ind´ependancededeuxe´v´enementsd´ependdelaprobabilite´P.nscoeer´´eid
2.Ellesege´ne´ralise`aunefamillefinieoude´nombrabled’e´v´enements:onaalorsdeuxnotionsd’ind´ependance.
•eL´esmtven(es´enAi)i∈I,tniselemostnment(ougmutuellei)tne´dnabolemel,esieutsndpetsan
P\Ai!=i∈YIP(Ai)
i∈I
•(stnemene´ve´LesAi)i∈Ixind´ependantssie,stueelemtnis,euadx`eutdons
∀(i j)∈I2 i6=j P(Ai∩Aj) =P(Ai)P(Aj).
3. SiAetBntinsonead´dpeteistn,sP(A)P(B)6= 0,PA(B) =P(B) etPB(A) =P(A).
Leconditionnementparune´v´enementinde´pendantnechangerien`alaprobabilite.
´

3Variablesale´atoires

3.1

D´efinitions,exemple

:

ge´ne´ralite´s

al´eatoirere´elleXest
D´efinition11:enutioSΩ(ppaliAcatPu)neuΩvneiiveornsdprsRopruuq,enietottuelvrlaelletsie´U.enavirbaelrobabilIdeR,X−1(I)∈ A.

On peut le comprendre comme suit :Xequnste´eitntuatseie´ila`eendduhasard(etquemusarlbqeiu´dpe
l’exp´erienceal´eatoireeffectu´e,a`partirdelaquelleond´efinitl’universprobabilise´),etlaconditionsignifieque,
pour tout intervalleIdeR, la proposition “Xenuts´rerbmonrappalee`antnateI” est unenemvee´tn.
´

L’ensembledevaleursd’unevariableal´eatoireXde´nfieius(rΩA P),not´eX(Ω),
e n
D´fi ition 12 :est l’ensemble image de Ω par l’applicationX.
C’est donc l’ensemble des valeurspossiblesdeXl´eatoireriencea.e`’led´pxei’laeuss

Cas discret :Supposons que Ω est un ensemble fini : Ω ={ω1 ω2 . . .  ωn}.
AlorsA=P(Ω), et l’ensembleX(Ω) ={X(ω1) X(ω2) . . .  X(ωn)}.lage´tseinfitneme
CommeXmelbdeveevl,e’sntinjectiorc´emeneualdersnsfpast’eXpeut comporter moins dene´entsl´em
distincts : posonsX(Ω) ={x1 x2 . . .  xp}.
Dans ce casXelbae´laiotaiserts,eleeuntme,siiravenutse
∀i /1≤i≤p X−1(xi)∈ A
Autrement dit, la proposition (X=xi) est un´etenemenv´.
Cet´eve´nementestl’ensembledes´eventualit´es(=e´l´ementsdeΩ)quientr´ealisX=xi.
On peut donc calculer sa´eitilabobprrennosiartuepnO.ueΩeorsqemeldemˆele,rbbancemodtstn´odX(Ω)
aussi.

D´efinition13:

SoitXueeqlltereoiate´laelbairavenuX(Ω) ={xi/ i∈I}.
Laloideprobabilit´edeXest la suite des couples (xi pi) i∈I, tel que
pi=P(X=xi).

Exemple :,T019,.AS,ROI,DAME,VALEafseltno:tnossecqu´e´endedr´ibilioutS
Onlancelede´;lesfaces9et10rapportent1point,VALET:4points,ROIouDAME:6points,AS:10
points.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

10

SoitXlnemorbdepeioalnurecn.sontenbtapusesr`
Alors par exemple :X−1(6) ={ROI, DAME}.
Autrementditlesre´sultatspossiblesquir´ealisentl’e´ve´nement(X= 6) sont ROI et DAME.
Laprobabilit´edecete´venementest:P(X2=)631=6.=
´
X(Ω) ={14610}etlaloidpeorabibil´tdeeX´tdesetrlpaeeusuaelba:tnavi
onn

xi

pi

3.2Fonctionder´epartition

1

1
3

4

1
6

6

1
3

10

1
6

iableale´atoire.Lafonctionder´epartitionF
De´finition14:cttonfoiiSXreiuse´nfiodnunarevRpar :∀x∈RF(x) =P(X≤x)

SiXa pour ensemble de valeursX(Ω) ={xi/ i∈I} :, pour tout ´ l a
reexon
F(x) =XP(X=xi)
i/xi≤x

Par exemple siX(Ω) ={12 . . .  n},

de la variableXest la

k
F(k) =XP(X=i)
i=1
Cetteformuledonnelafonctionder´epartition`apartirdelaloideprobabilit´e.Danscertainsprobl`emeson
peutˆetreamene´a`trouverlaloideprobabilit´e,connaissantlafonctiondere´partition,lorsqueXselrua`avets
entie`res.
En remarquant que : (X≤k)⇔(X=k)∪(X < k)⇔(X=k)∪(X≤k−1), on obtient :

Theoreme 9 :S∀iXk∈eXvanetusΩ)r(P(abiX=alleki)ore´t=aFe(k)a`v−aleF(ruks d−san)1N,
´ `

Danslecasg´ene´ralonremarquequesix∈[xi xi+1[,F(x) =F(xi) : la fonctionFest constante sur tout
intervalle [xi xi+1ucennosedtnoepartititionder´cnofal:[fonction en escalier.
Onpeutdoncre´sumercettefonctionder´epartitionautableaudevaleursconcernantX(Ω). Pour l’exemple
pre´ce´dent:

3.3

xi

F(xi)

Composee par une fonction
´

1

1
3

g

4

1
2

6

5
6

10

1

SoitXdevaleurensemblesneurivaiota’derelbae´laX(Ω) ={xi/ i∈I}ilabobprdeoieltde,e´ti{(xi pi)}
avec :
∀i∈I P(X=xi) =pi

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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