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CleLymcéeenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Cinématique
du point matériel


Olivier GRANIER


 ncealemeCu

PCSI 1 Physique
-




1  Objet de la cinématique: décrire les mouvements des corps sans
chercher à les interpréter.

Point matériel: particule « suffisamment petite » pour pouvoir être assimilée
à un point repérable par un ensemble de trois coordonnées.

2  Référentielréférentiel est un corps solide (c’estàdire: un
indéformable), par rapport auquel on se place pour étudier le mouvement d’un
point matériel.

Relativité du mouvement

3  Repère :un repère est un système d’un point et de trois axes
permettant de repérer un point matériel.

* Repère cartésien (Oxyz)

Olivier GRANIER


 Clecnemuae

PCSI 1 - Physique

ux

4  Systèmes de coordonnées:
* a  Coordonnées cartésiennes

r

x ux

#

y uy

#z uz

est appelé rayon vecteur de M.

( u x , u y , u z ) est une BOND :

uy

uz

;

uyÙuz

uzÙux1uy

1ux

x

x

z

z

uz

uxO

r
u

y

M

P

Trajectoire

y

y

Olivier GRANIER


 enceClemua

PCSI 1 - Physique

Systèmes de coordonnées:
* b  Coordonnées polaires (mouvements plans uniquement)

r etΚ sont les coordonnées polaires de M.

OM1r1r ur

Î [0,2

]

x = r cos(Κ = r sin() ; yΚ)

ur1cos(

)ux#sin(

)ux#cos(

)uy

)uy

y

y

uy


O
uΚ1 %sin(
u Κ est directement perpendiculaire àur

ur

ux

Κ

x

M

+

x

Olivier GRANIER


 Clemenceua

PCSI 1 - Phys

ique




Systèmes de coordonnées:

c  Coordonnées cylindriques : (Λ∃Κ∃z) sont les coordonnées cylindriques de M
*
z
OM1r1OP#PMz HΛ
Tra
Mde Mjectoire
OM1r1Λu#z u

Λz

xΛcos(Κ) ; y =Λsin(Κ)
=

Avec :

Î [0,2

]

x

uz
O


Κ

Λ

P

v

y

Olivier GRANIER


 lCuaecneme

PCSI 1 - Physique





6  Le temps: le temps est une notion absolue, c’e stàdire indépendante
du référentiel d’étude : ainsi, deux observateurs liés à des référentiels
différents attribuent les mêmes dates aux mêmes événements.

En mécanique relativiste (Einstein, 1905), le temps perd son caractère absolu
(phénomène de dilatation des durées) :

t1

1
2
1v
%
2
c

t0

t0: durée de vie propre de la particule (au repos)

v : vitesse de la particule dans le laboratoire

c : vitesse de la lumière dans le vide

t : durée de vie observée par un observateur lié au laboratoire

Olivier GRANIER


 eaumencCle

PCSI 1 - Physique

7  Trajectoire
:

L’ensemble des positions occupées par un mobile en fonction du temps
est une courbe appelée trajectoire.

s1

AM

est l’abscisse curviligne de M.

La fonction s = s(t) est appelée équation

horaire du mouvement

M(t)

A (origine qq)

Trajectoire orientée

Olivier GRANIER


 uaenceClem

PCSI 1 - Physique

8  Vitesse associée à un mouvement :
Quelques propriétés des fonctions vectorielles :

*

*

*

 
t A t d t A t
ddtl ) (( )l1dt( ) ( )#

d
dt

d
dt

l(t)Adt(t)
d

   
A(t).B(t)1dA(t.)B(t)#A(t).ddB(tt)
dt

  
A(t)ÙB(t)1ddA(tt)ÙB(t)


dB t
#A tÙ)
( )d(t


Olivier GRANIER


 ecuaenemCl

PCSI 1 - Phys

ique

Vecteur vitesse:

La figure précise les notations :


v1lim
Dt|0

MM'
Dt

1limOM'%OM
Dt|0Dt

d OM
1
dt

r 1 O M le rayon vecteur du point M. est

dr
1
dt

x

z

O

Trajectoire

M(t)M’(t+Dt)

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et est dirigé dans le sens du
mouvement (d’après la définition même)

y

Olivier GRANIER


 ceenaulCme

PCSI 1 - Physique





Coordonnées du vecteur vitesse en coordonn ées cartésiennes:

Les vecteurs u x , u y e t u z sont indépendants du temps, donc :

z˙ ˙ ˙
dxdyydzuyuzu
v1u#u#u1x# #
dtxdt dtx y z
 Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées polaires :

˙
v1r ur

#

˙
rΚuΚ

Vitesse Vitesse
radiale orthoradiale

d

dtr1 ΚuΚ

duΚ%1Κ˙u
dt

r

Olivier GRANIER

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