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Cours - Mécanique du point matériel - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Systèmes à deux corps

De
42 pages
Cours de mécanique du point matériel basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 8 chapitres : (1) Cinématique du point matériel (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Etude énergétique (4) Système à deux corps (5) Oscillateurs mécaniques (6) Changement de référentiels - Mécanique terrestre (7) Moment cinétique (8) Particules dans des champs électriques et magnétiques
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Lycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
Lycée
Clemenceau
Systèmes formés de
deux points matériels
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Préliminaires : rappels du cours sur le PFD
Théorème du Centre d’inertie :
• Centre d’inertie d’un système de points matériels :
« Le centre d’inertie G d’un système de points matériels M de masse m
i i
est le barycentre des points M affectés des coefficients m, soit :
i i
r
(S)
m GM = 0
i
i

i
M
M (m)
1
Si O est l’origine du référentiel d’étude, alors :
i i
r
r =OM
GM =GO+OM =−OG+OM
i i
i i i
M
n
G
m OM m OM
i i i i M
∑ ∑
j
M
2
i i
D’où
OG = =
(R)
m
m
T
i

O
i
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
• Quantité de mouvement totale du système :
La quantité de mouvement totale du système de points matériels est
(dans le référentiel d’étude (R)) :
r d(OM )
r
i
avec
v =
p= m v
i i i

dt
i
Elle est reliée à la vitesse du centre d’inertie G dans (R) :
r d(OM ) d(m OM )
d(OG) d(OG)
i i i
p= m = = m =m
i i T
∑ ∑ ∑
dt dt dt dt
i i i
r r
p=m v
Soit :
T G
« La quantité de mouvement d’un système de points matériels est
égale à la quantité de mouvement d’un point fictif situé au centre
d’inertie du système et possédant toute la masse de celui-ci. »
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
• Forces intérieures et forces extérieures :
r
r
q E
(S)
: force extérieure qui
i q E
i
s’exerce sur le point M
i
r
M
r
1 M (m,q)
i i i
E
r
f : force intérieure
j→i
f
exercée par le point (j)
r
j→i
r =OM
sur le point (i)
i i
M
n
G
r r
f =−f
r
i→j j→i
M
f
(R)
2
i→j
M
j
 
r r
 
f = 0
O j→i
Globalement :
∑ ∑
 
i j≠i
 
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
• Théorème du centre d’inertie :
Le PFD appliqué à un point matériel donne :
r
r
r
d(v )
i
m = F + f
i i,ext j→i

dt
r
j≠i
Où F désigne la résultante des forces extérieures qui s’exercent sur
i,ext
le point (i).
En sommant sur tous les points du système :
r r
 
r
r r
d(mv ) dv
i i G
 
=m = F + f = F
T i,ext j→i i,ext
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
 
dt dt
i i i j≠i i
 
r
« Le mouvement du centre d’inertie d’un système de points
r
dv
G
matériels est celui d’un point qui aurait la masse totale du
m = F
T ext
système et auquel serait appliquée la somme des forces
dt
extérieures au système. »
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
I – Eléments cinétiques d’un système de deux points matériels :
Dans la suite, on se limite à un système (S) de deux points matériels M
1
et M , de masses m et m .
2 1 2
L’étude est faîte dans un référentiel (R) galiléen, d’origine O.
1 - Centre d’inertie (de masse) :
Une calculette
Pour 2 points matériels, G est défini par :
astronomique
r
m GM +m GM = 0
1 2
1 2
Calculateur
Soit encore :
de CI
m OM +m OM
1 2
1 2
OG =
m +m
1 2
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
2 - Référentiel barycentrique :
On note v(G) le vecteur vitesse du centre d’inertie du système par
rapport au référentiel d’étude (R).
On appelle référentiel barycentrique (R ) du système, le référentiel
b
animé d’un mouvement de translation par rapport au référentiel (R) à la
vitesse du centre d’inertie v(G).
z
(R )
b
Le référentiel
v(G)
(R )
b
barycentrique est
G
(R)
(R ) galiléen si v(G) est
G b
constante.
v(G)
G
v(G)
y
O
x
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
3 - Quantité de mouvement (ou résultante cinétique) :
La quantité de mouvement totale du système vaut, dans le référentiel (R) :
r r r r
p=m v +m v = (m +m )v(G)
1 1 2 2 1 2
On le retrouve rapidement en écrivant que :
r r
 
r m OM +m OM m v +m v
d d
1 2
1 2 1 1 2 2
 
v(G)= (OG)= =
 
dt dt m +m m +m
1 2 1 2
 
Remarque : dans le référentiel barycentrique (R ), la quantité de
b
mouvement totale du système est nulle (car v (G) = 0).
b
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
4 - Energies cinétiques :
Dans le référentiel (R) :
1 1
2 2
E = m v + m v
c 1 1 2 2
2 2
Dans le référentiel barycentrique (R ) :
b
1 1
2 2
E = m v + m v
c,b 1 1,b 2 2,b
2 2
Relation entre les vitesses dans (R) et dans (R ) (Le mouvement
b
d’entraînement est un mouvement de translation)
r r r r r r
v =v +v(G) ; v =v +v(G)
1 1,b 2 2,b
Olivier GRANIERLycée Clemenceau
PCSI 1 - Physique
5 - Moments cinétiques :
Moment cinétique par rapport à O, évalué dans (R) :
r r r
σ =OM ∧m v +OM ∧m v
1 2
0 1 1 2 2
Moment cinétique barycentrique :
On l’évalue tout d’abord par rapport au point G :
r r r
σ =GM ∧m v +GM ∧m v
1 2
G,b 1 1,b 2 2,b
On montre que ce moment ne dépend du point par rapport auquel on
l’évalue. Défini en un point quelconque A :
r r r
σ = AM ∧m v + AM ∧m v
1 2
A,b 1 1,b 2 2,b
Olivier GRANIER

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