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(O.Granier)
Oscillateurs mécaniques
(mécanique du point matériel)
A – Etude en régime libre
Olivier GRANIERer
1 - Un 1 exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :
* En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à :
r
r
k
2
u && &&
x + x = x + ω x = 0
T
0
x
m
M(m)
2π m
T = = 2π
l
O x 0
ω k
0
x
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
x = Acosω t +Bsinω t =C cos(ω t −ϕ)
0 0 0
Simulation Java
Olivier GRANIER Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :
r
−hmv
* En présence de frottement fluide en :
Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) :
k
&& & && &
mx = −kx −hmx soit x +hx + x = 0
m
ω
k
0
ω = ; h = 2λ = 2σω =
On pose : 0 0
m Q
σ est le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité.
ω
2 2 2
0
&& & && & && &
x + 2λx + ω x = x + 2σω x + ω x = x + x + ω x = 0
Alors :
0 0 0 0
Q
Différents régimes, selon les valeurs prises par σσσσ (ou Q = 1/2σ) : régime
pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique.
Simulation Cabri
Olivier GRANIER 2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle :
ω
2 2 2
0
&& & && & && &
x + 2λx + ω x = x + 2σω x + ω x = x + x + ω x = 0
0 0 0 0
Q
On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au
corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
2 2
r + 2σω r + ω = 0
0 0
Dont le discriminant est :
2 2
Δ = 4ω (σ −1)
0
Δ < 0 soit σ < 1:régime pseudo − périodique (r ,r ∈C)
1 2
Δ > 0 soit σ > 1:régimeapériodique (r ,r ∈R)
1 2
Δ = 0 soit σ = 1:régimeapériodiquecritique (racineunique,r = −ω )
0
Olivier GRANIERRégime pseudo-périodique :
(σ < 1)
(CI : x(0)=x et vitesse initiale nulle)
0
σω
 
−σω t
0
0
x(t) = x e cos(ωt) + sin(ωt)
0
ω
 
−σω t
0
x(t) =Ce cos(ωt −ϕ)
2
σω σω
 
0 0
C = x 1+ ; tanϕ =
 
0
ω ω
 
2
(avec ω = ω 1−σ )
0
(Pseudo − pulsation)
Simulation Maple
Simulation Regressi
Olivier GRANIER(σ > 1)
Régime apériodique :
(CI : x(0)=x et vitesse initiale nulle)
0
2 2
r = −σω +ω σ −1 ;r = −σω −ω σ −1
1 0 0 2 0 0
2
ω = ω σ −1
0
σω
 
−σω t
0
0
x(t) = x e ch(ωt) + sh(ωt)
 
0
ω
 
 
x σω σω
   
−σω t −ωt ωt
0 0 0
0
 
x(t) = e 1− e +1+ e
 
2 ω ω
   
 
Simulation Maple
Simulation Regressi
Olivier GRANIERRégime apériodique critique : (σ = 1)
(CI : x(0)=x et vitesse initiale nulle)
0
−ω t
0
x(t) = x (1+ω t)e
0 0
Simulation Maple
Simulation Regressi
Olivier GRANIER 3 - Autres exemples d’oscillateurs : Le ressort vertical
En mouvement
A l’équilibre
A vide
r
l
k
0
r
T
l
éq
éq
l = l +x
T
éq
O
x
r
u
r
x
mg
r
mg
x
r r
r r
T = −k(l −l )u ; T = −k(l +x −l )u
éq éq 0 x éq 0 x
Olivier GRANIEREn l’absence de frottements :
r r r
r r r mg
mg +T = 0 ; −k(l −l )u +mgu = 0 ; l = l +
A l’équilibre :
éq éq 0 x x éq 0
k
r
r r r r r
&&
mg +T =ma ; −k(l +x −l )u +mgu =mxu
En mouvement :
éq 0 x x x
En tenant compte de la relation obtenue à l’équilibre :
k k
2
&& &&
x + x = x + ω x = 0 (Avec ω = )
0 0
m m
En présence de frottements fluides :
Par un raisonnement similaire, on obtient :
r
r r r r r r r
& &&
mg +T −hmv =ma ; −k(l +x −l )u +mgu −hmxu =mxu
éq 0 x x x x
k k
2
&& & && &
x +hx + x = x + 2σω x + ω x = 0 (Avec ω = et 2σω =h)
0 0 0 0
m m
Olivier GRANIERRessort sur un plan incliné :
l
r
r r
éq
−k(l −l )u +mg sinα u = 0
x éq 0 x x
mg sinα
A
d'où : l = l +
éq 0
r
O
k
r
u
x
T
r
N
r En présence d’une force de
x
r
frottement fluide de la forme − h m v ,
f
r
l’équation différentielle vérifiée par
v
r
la variable x peut encore s’écrire
mg
sous la forme canonique :
α
k ω
2 2
0
&& & && & && &
x +hx + x = x + 2σω x + ω x = x + x + ω x = 0
0 0 0
m Q
Olivier GRANIER