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Mouvements de particules chargées dans des champs électriques et magnétiques
I  Champ électrique seul : 1 - Analogie formelle : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ électrostatiqueEr0 uniforme et indépendant du temps. Le référentiel détude est celui du laboratoire supposé galiléen. Le PFD appliqué à la particule donne : dvrdvrr md=qEr soit=Eqt dt m Il y analogie avec un point matériel dans le champ de pesanteur supposé uniforme : dvrr mdt=mg soittddvr=grPar conséquent, le mouvement dune particule dans le champEr0sera soit une droite soit une parabole. 2  Principe de loscilloscope analogique :SolutionLe tube dun oscilloscope est une ampoule où la pression résiduelle est très faible et dans laquelle sont installés un canon à électrons, deux systèmes de plaques déflectrices et un écran luminescent sous limpact des électrons. Ce tube est à symétrie cylindrique daxe (Oz) horizontal (voir figure (a)).
(A) (C) r O1v
Y2 I Y1
I
1
2
O r ez
z
x
G
O
y
G x
Ecran 2a Figure (a) Figure (b) a - Le canon à électrons : une cathode (C) émet des électrons sans vitesse ; ceux-ci arrivent sur lanode (A) et la traversent par une petite ouverture (O1) située sur laxe (Oz) avec une r r vitessev0v0ez. Déterminer la tension U0à appliquer entre la cathode et lanode pour que = v0= 2,5.104km.s1 :. Donnéese=1 6 1019C(valeur absolue de la charge dun électron) et , .m=9,1.1031kg (masse dun électron). On rappelle que lénergie potentielle dune charge q placée au potentiel U vaut qU. b - La déviation verticale : les plaques sont des rectangles de longueurlparallèles à (Oz) ; lécartement des plaques est noté d. Leurs positions sont repérées par les centres géométriques I et I des condensateurs ainsi constitués. Le centre de lécran est noté O, origine dun système daxe (Oxyz) (voir figure précédente). On pose IO = D et IO D . = 
On applique entre les plaques horizontales Y1et Y2centrées en I une différence de potentiel uy= Vy2Vy1 et entre les plaques verticales X1 et X2 différence de potentiel une ux= Vx2Vx1. Lorsque ux= uy= 0, on observe un spot lumineux en O. On maintient ux= 0 et on établit une différence de potentiel constante uynon nulle. On admet que le champ électrique résultant dans le parallélépipède défini par Y1et Y2 uniforme et est nul à lextérieur. Un électron pénètre (à t = 0) dans ce champ au point de coordonnées (0,0,z0) avec le vecteur vitessevr0défini à la question (a). On appellevr1son vecteur vitesse quand il quitte le condensateur constitué par les plaques horizontales.
d
Y2(uy> 0)
r M0v0
l
r v1αSy1 r r = −eES r MDl/ 2ey 1 I O z r E
Y1Ecran Déterminer la duréeτde la traversée du condensateur et lordonnée ySdu spot lumineux sur lécran. Calculer numériquementτ et yS avec :l= 5,0 cm ; d = 4,0 cm ; D = 50 cm ; v0= 2,5.104km.s1et uy= 100 V. Résultat important : la déviation ys proportionnelle à la différence de est potentiel uyappliquée. 3  Simulation de la déviation verticale : Cliquer sur : Animation déviation
II  Champ magnétique seul : 1  Puissance de la force magnétique : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0uniforme et indépendant du temps. Le référentiel détude est celui du laboratoire. Le PFD appliqué à la particule donne : r m dv=rBrdtqv La puissance de la force magnétique est nulle (P=(qvrBr).vr=0). Par conséquent, daprès le théorème de la puissance cinétique :
dEc0 cstee v soit E cste t P=dt=c= =Un champ magnétique ne modifie pas la norme de la vitesse mais seulement sa direction.
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2  Mouvement circulaire : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàurzuniforme et indépendant du temps. La vitesse initiale de la particule est perpendiculaire au champ et portée, par exemple, selon laxe (Ox) :v0=vàurx.
SimulationTravaux pratiques :de la tension accélératrice du canon à électrons (donc de la  influences vitesse initiale :v0=k U) et de lintensité traversant les bobines dHelmholtz (donc du module du champ magnétique :B=k'I).
Compléter le tableau suivant :  Manip 1 I (A) 1 U (V) 200 Diamètre (cm)
3
Manip 2 1,5 200
Simulation
Manip 3 1,5
300
3  Mouvement hélicoïdal : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàuzuniforme et indépendant du temps. La vitesse initiale de la particule est quelconque et peut sécrire, par un choix convenable des axes : vr0vàsinux+vàcosurz
4  Application : chambres à bulles :
Simulation
SimulationLe principe dune chambre à bulles (détecteur mis au point en 1953 par le physicien américain Glaser, prix Nobel de physique en 1960) est le suivant : un liquide (souvent de lhydrogène)
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placé dans une chambre, est comprimé par un piston (phase (1), figure ci-contre) ; sa température est supérieure à sa température débullition sous la pression atmosphérique, mais inférieure à sa température débullition sous la pression à laquelle il se trouve placé. Juste après le passage de la particule à détecter, on détend le piston (pendant 1 ms environ, phase (2)), et le liquide revient à la pression atmosphérique. Lébullition débute autour des ions créés par la particule. Si on éclaire par un flash et que lon photographie, la trajectoire est matérialisée par un chapelet de petites bulles. La figure suivante montre un exemple de cliché (réalisé en 1973) représentant la désintégration dun méson K+ vol. On remarque nettement deux trajectoires en forme de en spirale qui traduisent lapparition de particules chargées stables lors de la désintégration du méson. Cet exercice se propose de modéliser de manière simple le mouvement horizontal dun proton dans une chambre à bulles. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le proton de masse m et de charge e, considéré comme un point matériel, a une vitesse initialevr0en un point fixe O ; il est dans une région de lespace où règne un champ magnétique r uniforme et constantB. Afin dinterpréter la trajectoire précédente en forme de spirale, on modélise la force que le liquide exerce sur le proton par une force de frottement fluide r f= −kr, où k est une constante positive etr vitesse du proton à linstant t. On posera la ωc= eB / m etτ= m / k. a - Etablir léquation différentielle vectorielle du mouvement du proton. b On désigne par (Oxyz) un trièdre orthogonal direct lié au laboratoire et par( urx,uy,urz) la base de vecteurs unitaires associée. On choisitB=Burz etvr0=v0urx. Montrer que (et déterminer les constantes a et b en fonction deωcetτ) : dvx=avbvdty x (1) etdtdvy= −avxbvy (2) c - On pose i le nombre complexe tel que i2= pour résoudre le système déquations1 ; précédent, on définit le nombre complexe V = vx+ ivy. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes à une équation différentielle dont la solution est de la forme V = v0exp((b + ia)t). En déduire vxet vy. d - Déduire de V lexpression de X = x(t) + iy(t) en fonction de a, b, v0et t. e - Déterminer la limite, notée X, de X lorsque t tend vers linfini. En déduire la position limite M(x, y) en fonction deωc,τet v0. Donner lallure de la trajectoire. Données : B=102T , m=1,67.1027 ekg ,=1,6.1019C, v0=3.106m.s1,τ =105et 106s. Solution
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III  Champ électrique et champ magnétique : 1  Hélice à pas variable :
On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàurz  uniformeet indépendant du temps et dans un champ r électriqueE0=Eàurz. La vitesse initiale de la particule est quelconque et peut sécrire, par un choix convenable des axes : vr0vàsinux+vàcosuz
Simulation2  Cycloïde : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q > 0) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàurz et indépendant du temps et dans un champ uniforme électriqueEr0=Eàury. La particule est initialement à lorigine O du repère et sa vitesse initiale est nulle. On poserac=qB/m. Montrer que les équations paramétriques de la trajectoire sont :
E E xωctωctωc= − = − Bωc( sin ; )yBωc(1 cost) Choisir des valeurs numériques simples et tracer dans Regressi lallure de la trajectoire.
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3  Filtre de vitesse et mesure du rapport e / m : Lancer la simulation :
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Simulation
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