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Cours - Mécanique du solide - 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*,

De
84 pages
Cours de mécanique du solide basé sur le programme de physique de 2ème année de la voie PC* des CPGE. Ce cours présente la cinétique des systèmes matériels, puis étudie le mouvement d'un solide, pour passer à l'étude dynamique puis à l'étude énergétique des systèmes matériels. Il aborde ensuite le contact entre deux solides (lois du frottement) et la rotation d'un solide autour d'un axe fixe.
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Mécanique du solide






Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Mécanique du solide

I) Cinétique des systèmes matériels :
1 – Rappel ; composition des vitesses et des accélérations :
Soit (R) un premier référentiel (appelé « absolu », (Oxyz)) et (R’) un référentiel (appelé « relatif »,
(O’x’y’z’)) en mouvement par rapport à (R).
• (R’) est en translation par rapport à (R) :
Composition des vitesses :
r r r r r
v(M ) =v'(M ) +v =v'(M ) +v(O')
e
Composition des accélérations :
r r r r r
a(M ) =a'(M ) +a =a'(M ) +a(O')
e


2 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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• (R’) est en rotation autour d’un axe fixe de (R) : (O et O’ sont confondus)
Composition des vitesses :
r
r r r r
v(M ) =v'(M ) +v =v'(M ) + Ω ∧OM
e (R') /(R)


Composition des accélérations :
r r r r
a(M ) = a'(M ) +a +a
e c
r
 r r  r

r r r
(R') /(R)
a(M ) =a'(M ) + ∧OM + Ω ∧ (Ω ∧OM ) + [2Ω ∧v'(M )]
 
(R') /(R) (R')/(R) (R')/(R)
dt
 
 




3 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Exemple : un forain sur un manège pour enfants
Un manège d'enfants tourne à une vitesse angulaire constante ω > 0 constante. Le propriétaire
parcourt la plate-forme pour ramasser les tickets. Partant du centre à t = 0, il suit un rayon de la
plate-forme avec un mouvement uniforme de vitesse v .
r
a) Etablir l'équation de la trajectoire de l'homme dans le référentiel terrestre (trajectoire vue par
les parents).
b) Déterminer la vitesse de l'homme par rapport à la Terre, à partir des équations de la trajectoire
puis en utilisant la composition des vitesses.
c) Déterminer l'accélération de l'homme par rapport à la Terre, à partir des équations de la
trajectoire puis en utilisant la composition des accélérations.





4 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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2 – Centre d’inertie d’un système, référentiel barycentrique :
Dans le cas de solides ou de systèmes matériels, on est amené à définir une masse volumique, une
masse surfacique ou encore une masse linéique :
m = ρ(M )dτ ; m = σ (M )dS ; m = λ(M )dl
∫∫∫ ∫∫ ∫

(V ) (S ) (C )
Le centre d’inertie d’un système sera défini par :
• Distribution discontinue :
m OM
∑ i i
r
i
m GM = 0 ; OG =

i i

m
i
• Distribution continue volumique :
ρ(M )OMdτ
r
∫∫∫
(V )
ρ(M )GMdτ = 0 ; OG =
∫∫∫

(V )
m


5 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Le centre d’inertie possède la propriété d’associativité : le centre d’inertie G d’un système (S),
constitué de deux systèmes S et S de masse m et m et de centres d’inertie G et G , est défini
1 2 1 2 1 2
par :
(m +m )OG =m OG +m OG
1 2 1 1 2 2

Quel est le centre d’inertie de ce solide ?


6 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Référentiel barycentrique :
Le mouvement du système est étudié dans le référentiel (R). On appelle référentiel barycentrique (R )
b
relatif au référentiel (R), le référentiel de centre G et animé d’un mouvement de translation à la
r
vitesse v(G) par rapport à (R).
z
((RR )
b
v(G)
(R )
b
GG
((R)
(R )
GG b
v(G)
GG
v((GG))
y
O
x

La loi de composition des vitesses s’écrit sous la forme :
r r r
v(M ) =v (M ) +v(G)
b



7 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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3 – Résultante cinétique et moment cinétique d’un système matériel :
• Résultante cinétique (ou quantité de mouvement totale du système) :
r
r r
P = ρ(M )v(M )dτ = mv(G)
∫∫∫

(V )
Dans le référentiel barycentrique, la résultante cinétique est évidemment nulle.

• Moment cinétique :
Le moment cinétique par rapport à O du système, dans le référentiel (R) est :
r
r
L = OM ∧ ρ(M )v(M )dτ
O
∫∫∫
(V )



8 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Théorème de Kœnig pour le moment cinétique :
r
r r r
L = OM ∧ ρ(M )v(M )dτ = (OG +GM ) ∧ ρ(M )(v (M ) +v(G))dτ
O b
∫∫∫ ∫∫∫

(V ) (V )
r
r r
L =OG ∧mv(G) + GM ∧ ρ(M )v (M )dτ
O b
∫∫∫

(V )
Soit :
r r
r
L =OG ∧mv(G) +L
O G,b

Remarque :
Le moment cinétique barycentrique ne dépend pas du point où on le calcule. En effet :
r r r r
L = L = L = L
G G,b A,b b



9 Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Moment cinétique par rapport à un axe :
r
La projection du moment cinétique L du système (S) sur un axe Δ passant par O définit le
O
moment cinétique L de (S) par rapport à Δ.
Δ
(S)
Δ
r
r
u

Δ
L

O
O

r
u
Ainsi, en introduisant le vecteur unitaire de l’axe (Δ), on obtient :
Δ
r
r
L = L .u
Δ O Δ

On vérifie facilement que L est indépendant du point O de l’axe Δ.
Δ
La notion de moment cinétique par rapport à un axe est intéressante lorsque le système (un
solide par exemple) est justement en rotation autour de cet axe Δ.


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