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Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

De
5 pages
Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Mécanique I"; il est composé de 6 chapitres : (1) Oscillateur harmonique - Régime forcé (2) Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite) (3) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (4) Changements de référentiel (5) Dynamique en référentiel non galiléen (6) Système formé de deux points matériels
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MPSI-M´ecaniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

Mouvement dans un champ de forces
centrales conservatives

Tabledesmatie`res

1

2

3

Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Exempledelaforcee´lectrostatique..................
1.3Ge´ne´ralisation..............................

Loisg´ene´ralesdeconservation
2.1Conservationdumomentcine´tique..................
2.1.1Plane´ite´dumouvement....................
2.1.2Int´egralepremieredumouvement...............
`
2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2Conservationdel’e´nergie(m´ecanique)................
2.2.1Int´egralepremie`redumouvement...............
´
2.2.2 Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.2.3Etatsdediffusion,´etatslie´s..................

Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien
´
3.1Equationgene´raledelatrajectoire..................
´
3.2 Interaction ´ ulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rep
3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.3.1 Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.3.2Etatli´e.............................
3.4Mouvementsdesplane`tes-LoisdeK´epler..............

3.4.1LoisdeKe´pler.........................
3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

1
1
1
1

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2
2
2

2
2
2
2
2

3
3
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3
3
4
4

4
5

1 Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation

SoientM1de massem1etM2de massem2

page 1/5

F1→2=−F2→1=−G(mM1mM22)2MM11MM22
1
avecG= 66710−11kg−1 m3 s−2
On supposera queMde massemseecferortdencenparuir´etatt
de massem0m
F=−Gm02mer
r
δW=FdOM=−A2er(drer+r der) =−A dr2=−dEp
r r
avecEp=−rAen prenantEp(∞) = 0
1.2Exempledelaforcee´lectrostatique

SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2

1q1q2M1M2
=
F1→2=−F2→14π0(M1M2)2M1M2

avec4π10= 9109SI
On supposera queMde chargeqet de masseme´atseritt
par un centre de force fixeOde chargeq0et de massem0m

δ

F= 10q02qer
4π r
W=FdOM=Br2er(drer+r der) =Bdrr2=−dEp

avecEp=rBen prenantEp(∞) = 0

ou

fixe

O

´
repousse

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

remarquegearivatfsroecdsuliectrosttatiioqnueets´qepaomlereil:snc’o
s’exercentparexempleentredeuxe´lectrons
FFeg=me24π10G=
421042
D’unemani`erege´n´erale,`al’´echellemicroscopique,lesforcesdegravitationsont
n´egligeablesdevantlesforces´electrostatiques.

1.3Ge´n´eralisation

Force centrale si :

F=F(r)er

conservative si :
δW=−dEp
Pourlesforcesdegravitationet´electrostatiquesquel’onappelleinteractions
newtoniennes
F(r)kr2et Ep=cEravekp(∞) = 0
=
k=−Gm0m < ;0 pour l’interaction gravitationnelle

k 1= 40q0qitatsortge´n,euqifat,opru’linteraction´elec
π
diff´erent,positifsiq0etqmnˆee.mesdieg

2Loisg´ene´ralesdeconservation

siq0

etqde signe

Soit M de massemet de vitessevoserns-rtlaseocroeccsnechampdefumis`aun
vativesF=F(r)erape´cnure´rcdefenert.Oroec

2.1Conservationdumomentcine´tique

2.1.1Plan´eit´edumouvement

ddLtO=MO=OM∧F=rer∧F(r)er= 0⇒LO=cte
CommeLO=OM∧mv,OMetvesrlacudienrppenttea`seriLO=cte,OM
etvdonc contenus dans le plan perpendiculaire asont LO=cte: le mouvement
`
est plan.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:fe´vrier2007

2.1.2

Int´egralepremi`eredumouvement

Dansceplan,choisissonslescoordonne´espolaires(r θ) :

commeLO=cte:

OM=rer

˙
˙
v=rer+rθeθ

LO=OM∧mv=mr2θ˙ez

2θ˙
r=cte=C

appel´eint´egralepremi`eredumouvement,Cconstante des aires.

2.1.3 Loi des aires
L’airebalay´eependantdt

Lavitesseae´rolaire:

dA=12×r×rdθ21=r2dθ

ddtA12=r2θ2˙=1C=cte

page 2/5

Lesairesbalay´eespendantdesdur´eese´galessont´egalescequiexpliquel’ac-
c´ele´rationdeMlorsqu’ilserapprocheducentredeforceetsonralentissement
lorsqu’ils’ene´loigne.

2.2Conservationdel’e´nergie(me´canique)

2.2.1Int´egralepremie`redumouvement

F=F(r)erlenetoleitrenepeigd’nte´un´edvariEp(rl’´energei),
conserve :
Em12=m(r˙2+r2θ˙2) +Ep(r) =cte
appele´int´egralepremie`redumouvement.

m´ecaniquese

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

´
2.2.2 Energie potentielle effective

1˙2
Em2mr2+1mr2θ˙2+Ep(r)
=
1mr2θ˙2=
2 2mr2(r2θ)˙22=mr2C2

2mC2
Em1=2mr2+˙r2+Ep(r)

L’e´nergieme´caniquened´ependplusqueder˙ etr:
leterme12mr˙2elaidareuqitstepeap´e´lreneceige´ni
le termem2rC22+Ep(r) =Epef fevieelltceffntiepotergie´enelee´atppse

Em21=mr˙2+Effpe(r) =cte

´
2.2.3Etatsdediffusion,e´tatslie´s
Letermecin´eti12´ ositif,Em=cteest la plus grande vale
˙ etant
que2mrp ur que
puisse prendreEpffe(r) ; les valeurs derpour lesquellesEpef f> Emsont donc
inaccessibles.

Sir > rminsiffuonlrap´’detateided,on

Sirmin≤r≤rmax´eatlinoap,´’telrde

3 Mouvement dans un champ de forces centrales new-
tonien

Lemouvementve´rifielesproprie´t´esg´en´eralesdumouvementdansunchamp
deforcescentralesconservatives(plane´ite´dumouvement,loidesaires,e´nergie
potentielle effective) avecF(r) =rk2etEp=kr

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

3.1

´
Equationge´ne´raledelatrajectoire

page 3/5

Onpeutalorsmontrer(voirTD)quelatrajectoiredupointM,rep´ere´parses
coordonn´eespolairesapoure´quation(enchoisissantOxaxedesyme´triedela
trajectoire)
r(θ) = 1 +epcosθ
Onreconnaıˆtl’´equationd’uneconique:

sie >olrbpehye´dM,1enutirce

siele,M=1´dceirutenaparob

si 0< e <1,Md´ecrnutilleeespi

sieMd0,cr´eunitrccel=e

3.2Interactionr´epulsive

Epef f

Em

rmin

k >0

r

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

r > rmincherpprontreducecr`eedofuaenatet,´siffudideepenM,noa’ssaptu
distanceinfe´rieurea`rminositttep,celeleelppa’semeˆrtxenoitrenicerpe´.

Latrajectoirecorrespondantecorresponda`unebranched’hyperbole.

3.3

3.3.1

Interaction attractive

´
Etat de diffusion

Epef f

Em

rmin

k <0

Em>0

r > rmin, on observe encore un etat de diffusion.
´

La trajectoire est encore une branche d’hyperbole.

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

r

Le cas particulierEm.euqarapilobopdnrrse0=ocoirejectetra`aun

3.3.2

´
Etat li´
e

Epef f

Em

rmin

< E <
E mpef f min0

rmax

rmin≤r≤rmaxatet,´ap,l´elidnoitisoserrocMeant`pondarmin
p´ericentre,llceorecspreadnoa`tnrmaxapocentre.

La trajectoire est elliptique.

r

page 4/5

estappel´ee

Le cas particulierrmin=rmax=R.rrocespond`aunetrajetcioericcrluiaer

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

3.4

Mouvementsdesplane`tes-LoisdeK´epler

3.4.1LoisdeKe´pler

Cesloishistoriquesconcernentlesmouvementsdesplane`tesautourduSoleil,
ellessege´n´eralisenta`touslesmouvementsa`forcegravitationnellecentrale.

1reltuuodru`eansate:loiples
foyersestoccupe´parleSoleil.

Soleilde´criventdesellipsesdontl’undes

2entdasdelaioedasrisep;nelan`eteob´eit`alemevuomepenu’dtn:loil
dur´ees´egalesΔt, le rayon vecteurOMsgalees´esaireyedabalS=2CΔtu`oC
estlaconstantedesaireslie´ea`laplane`teconsid´ere´e.

3eloi :
T24π2
=
a3Gm0
ou`Toedlorineprteldivtol´eest´ielaupnalpete`euqialedSoleil,autourduale
demi grand-axe de la trajectoire elliptique etm0=mS ;la masse du Soleil la
masse de l pl `te n’intervient pas.
a ane
3.4.2 Vitesses cosmiques
Lavitesse circulaireestla`essetivinummocaitinerquntmeleiaocpra`nurpsuo
qu’ilde´criveuneorbitecirculairederayonaautour d’un gros astre de massem0:
E=− |k|
m2a
1mv2=Gm0
2c− |ak|=− |2ak⇒|vca
Lassdeivetontira´eibelt`auncorpsqieuirinitlamenenummoca`essetivatles
pourqu’il´echappe`al’attractiond’ungrosastredemassem0:
1mv2|k|= 0⇒vl= 2Gm0
2l−r0r0
DamienDECOUT-Dernie`remodificationf´ier2007
: evr

page 5/5

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