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Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Dynamique en référentiel non galiléen

De
4 pages
Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Mécanique I"; il est composé de 6 chapitres : (1) Oscillateur harmonique - Régime forcé (2) Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite) (3) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (4) Changements de référentiel (5) Dynamique en référentiel non galiléen (6) Système formé de deux points matériels
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MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 1/3
(a +a = 0 ne pouvant ˆetre qu’exceptionnel) :
e c
Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een
0
a = 0⇒ω = 0⇒a =a(O ) = 0
c e R
Table des mati`eres
0
R est donc en translation rectiligne uniforme par rapport `aR
1 Principe de relativit´e galil´eenne 1
1.1 R´ef´erentiels galil´eens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L’ensemble des r´ef´erentiels galil´eens est constitu´e par tous les r´ef´erentiels en
1.2 Relativit´e galil´eenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
translation rectiligne uniforme par rapport a` l’un d’entre eux.
2 Lois de la dynamique en r´ef´erentiel non galil´een 1
1.2 Relativit´e galil´eenne
2.1 PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0
2.1.1 Forces d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
SoitR en translation rectiligne uniforme par rapport `aR galil´een.
2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . 2
2.2 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
De mˆeme que pour le temps, la m´ecanique newtonienne postule ´egalement
2.3 Th´eor`eme de la puissance cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
(implicitement) l’invariance de la masse et de la force :
0 0 0
t =t m =m F =F
3 Caract`eregalil´een approch´e de quelques r´ef´erentielsd’utilisation
courante 2
0 0
En notant u = v(O ) = cte la vitesse deR par rapport `aR, la composition
R
3.1 R´ef´erentiel de Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
des vitesses donne :
3.2 R´ef´erentiel h´eliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0
v =v−u
3.3 R´ef´erentiel g´eocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 0
Soit p la quantit´e de mouvement dansR
3.4 R´ef´erentiel terrestre - Poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 0 0
p =mv =m(v−u)
1 Principe de relativit´e galil´eenne
R ´etant galil´een :
0
dp dp
0
1.1 R´ef´erentiels galil´eens
= =F =F
0
dt dt
Le PFD a donc mˆeme formulation dans tous les r´ef´erentiels galil´eens; plus g´en´e-
Rappel : un r´ef´erentiel est galil´een si, dans ce r´ef´erentiel, un point mat´eriel isol´e
ralement :
a` un mouvement rectiligne uniforme.
Soit M un point mat´eriel isol´e dansR galil´een alors a(M) = 0 Dans des r´ef´erentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux
R
autres, appel´es r´ef´erentiels galil´eens, les lois de la physique sont invariantes. Ou
0
SoitR un autre r´ef´erentiel; la composition des acc´el´erations donne : encore : les lois de la physique restent les mˆemes dans n’importe quel r´ef´erentiel
galil´een.
0
a(M) =a(M) +a +a
R R e c
Leprincipederelativit´ereposedoncsurcetteimpressionquel’onad’ˆetrea`l’arrˆet
0
R est galil´een si a(M) 0 = 0 c’est `a dire si :
R
quand on est dans un v´ehicule qui se d´eplace rectilignement sans cahot a` vitesse
a =a = 0 constante.
e c
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007
MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 2/3
0
2 Lois de la dynamique en r´ef´erentiel non galil´een Si R est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de R (voir chapitre
pr´ec´edent) :
0
2
SoientR en mouvement quelconque par rapport `aR galil´een et F la r´esultante
a =−rω e a = 2ωr˙e
e r c θ
des forces s’exerc¸ant sur un point mat´eriel M.
donc :
2
F =−ma = +mrω e F =−ma =−2mωr˙e
ie e r ic c θ
2.1 PFD
F est par exemple la force centrifuge qui tend a` nous expulser d’un man`ege
ie
2.1.1 Forces d’inertie
2.2 Th´eor`eme du moment cin´etique
DansR galil´een :
0 0
ma(M) =F
R
Soit O un point fixe deR en mouvement quelconque par rapport a`R galil´een
et F la r´esultante des forces s’exerc¸ant sur un point mat´eriel M.
En utilisant la composition des acc´el´erations :
0 0
D´erivons le moment cin´etique en O du point M dansR
0
m(a(M) +a +a ) =F
R e c
0
L 0(M) 0 =OM∧mv(M) 0
O R R
ou encore :

0 0
ma(M) 0 =F−ma −ma dL (M)
R e c O R
0
=v(M) 0∧mv(M) 0 +OM∧ma(M) 0
R R R
dt
0
0
R
DansR non galil´een, on peut appliquer le PFD en rajoutant les forces d’inertie
0
Le PFD dansR donne
d’entraˆınement et de Coriolis :

dL 0(M) 0
O R
0
=OM∧(F+F +F )
ie ic
F =−ma F =−ma
ie e ic c
dt
0
R
0
Ces forces n’´etant pas li´ees `a la pr´esence d’un autre corps (masse, charge) mais
DansR non galil´een, on peut donc appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique
seulement au caract`ere non galil´een du r´ef´erentiel, sont plutoˆt appel´ees pseudo-
en rajoutant les moments des forces d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis.
forces.
2.3 Th´eor`eme de la puissance cin´etique
2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe
0
Soit R en mouvement quelconque par rapport `a R galil´een et F la r´esultante
0
des forces s’exerc¸ant sur un point mat´eriel M,
SiR est en translation par rapport `aR (voir chapitre pr´ec´edent) :
0
0
a =a(O ) a = 0
e R c multiplions scalairement par v(M) 0 le PFD dansR
R

0
dv(M)
R
donc :
0 0
m .v(M) = (F+F +F ).v(M)
R ie ic R
0
dt
0
F =−ma =−ma(O ) F =−ma = 0
R
ie e R ic c
on obtient :
F est par exemple la force qui nous plaque contre le si`ege d’une voiture qui
ie


acc´el`ere. 0
dE (M)
c R
=F.v(M) 0 +F .v(M) 0 +F .v(M) 0
R ie R ic R
dt
0
R
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007
MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 3/3
comme F =−ma =−2mω∧v(M) 0 3.4 R´ef´erentiel terrestre - Poids
ic c R
Le r´ef´erentiel terrestre a pour origine un point A `a la surface de la Terre et ses
F .v(M) 0 = 0
ic R
axes :
Ox suivant un m´eridien dans la direction Nord-Sud
0
Finalement, dansR non galil´een, on peut appliquer le th´eor`eme de la puissance
Oy suivant un parall`ele dans la direction Ouest-Est
cin´etique en rajoutantseulement la puissancedelaforce d’inertied’entraˆınement,
Oz suivant la verticale ascendante du lieu
la puissance de la force d’inertie de Coriolis ´etant nulle.
tournent autour de l’axe poˆle Sud-pˆole Nord. On supposera :
ω =cte
Rterrestre/R
g´eocentrique
3 Caract`eregalil´eenapproch´edequelquesr´ef´erentiels
ce qui revient `a consid´erer que le r´ef´erentiel terrestre est en rotation uniforme
d’utilisation courante
autour d’un axe fixe du r´ef´erentiel g´eocentrique que l’on consid´erera galil´een; le
r´ef´erentiel terrestre n’est donc pas galil´een.
3.1 R´ef´erentiel de Copernic
Le r´ef´erentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du syst`eme solaire
méridien
(presque confondu avec le centre du Soleil) et ses axes sont dirig´es vers trois
~e (verticale)
z
´etoiles suffisamment ´eloign´ees pour pouvoir ˆetre consid´er´ees comme fixes.
A
~e (est)
y
parallèle
Il est galil´een avec une excellente approximation.
~e (sud)
x
θ
3.2 R´ef´erentiel h´eliocentrique
λlatitude
O
Idem avec comme origine le centre du Soleil.
ϕlongitude
Il est galil´een avec une excellente approximation.
équateur
3.3 R´ef´erentiel g´eocentrique Appliquons le PFD dans le r´ef´erentiel terrestre `a un point mat´eriel M de masse
m soumis en plus de l’attraction terrestre `a une r´esultante des forces f :
Le r´ef´erentiel g´eocentrique a pour origine le centre de la Terre et ses axes gardent
unedirection fixeparrapport`a ceuxdur´ef´erentiel deCopernic; le r´ef´erentielg´eo-
ma(M) =mG +f +F +F
ie ic
centriqueest doncentranslationelliptiqueparrapportau r´ef´erentieldeCopernic.
2
ma(M) =mG +f +mω HM−2mω∧v(M)
L’acc´el´eration de la Terre due `a sa trajectoire elliptique autour du Soleil
2
ma(M) =f +m(G +ω HM)−2mω∧v(M)
est faible, si on la n´eglige, on peut alors consid´erer que le r´ef´erentiel g´eocentrique
est en translation rectiligne uniforme par rapport au r´ef´erentiel de Copernic et (H est le projet´e orthogonal de M sur l’axe de rotation)
qu’il est donc lui-mˆeme galil´een.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 4/3
Soit un fil `a plomb, le poids est d´efini comme la force oppos´ee `a la ten-
sion du fil `a l’´equilibre (relatif dans le r´ef´erentiel terrestre) :
2
0 =T+m(G +ω HM) =T+P
Le poids prend doncen compte unepartie du caract`ere non galil´een du r´ef´erentiel
terrestre :
2
P =m(G +ω HM)
En tenant compte du poids, le PFD dans le r´ef´erentiel terrestre s’´ecrit :
ma(M) =f +P−2mω∧v(M)
Lorsque l’on consid´erait le r´ef´erentiel terrestre galil´een, on n´egligeait la force
d’inertie de Coriolis mais on prenait quand mˆeme en compte le force d’inertie
d’entraˆınement par l’interm´ediaire du poids.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007