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Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Système formé de deux points matériels

De
5 pages
Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Mécanique I"; il est composé de 6 chapitres : (1) Oscillateur harmonique - Régime forcé (2) Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite) (3) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (4) Changements de référentiel (5) Dynamique en référentiel non galiléen (6) Système formé de deux points matériels
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MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmate´riels

Syst`forme´dedeuxpoints
eme
mate´riels

Tabledesmatie`res

´
1El´ementscin´etiques
´
1.1El´ementscine´tiquesdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 R´f´ ntiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ere
´
1.4El´ntscine´tiquesdansR∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eme
1.4.1Quantit´edemouvementtotale................
1.4.2Momentcin´etiquetotalenG. . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4.3Energiecine´tiquetotale....................

2

3

Dynamiquedusyst`eme
2.1Forcesinte´rieuresetforcesext´erieures................
2.2Th´eor`emedelaquantite´demouvement...............
2.3The´ore`medumomentcine´tique....................
´
2.4Etude´energ´etique...........................
2.4.1The´ore`medel’e´nergiecine´tique................
2.4.2Puissancedesforcesint´erieures................
´ ´
2.4.3Energiepotentielle-Energiem´ecanique...........

Syst`emeisole´dedeuxpointsmat´eriels
3.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1Conservationdelaquantite´demouvement.........
3.1.2Conservationdumomentcin´etique..............
3.1.3Conservationdel’´energieme´canique.............
3.2R´ductionduproble`mea`deuxcorps`aunprobl`eme`auncorps..
e
3.2.1Mobilefictif-Massere´duite..................
´
3.2.2El´ementscine´tiques......................

1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4

4
4
4
4
4
4
4
5

Soitlesyste`meforme´pardeuxpointsmat´erielsM1de massem1, de vitessev1,
soumisa`desforcesd´esultanteF1etM2de massem2, de vitessev2uos,`sima
e r
desforcesdere´sultanteF2, on noteramla sommem1+m2

DamienDECOUT-Dernie`remodification:fe´vrier2007

Parde´faut,lesvitessesetles
r´ef´erentielRg.e´nelali

1

1.1

c´l´tionssontcalcule´es
ac e era

´
El´ementscine´tiques

´
Ele´mentscie´tiquesdansR
n

par

page 1/5

rapport`aun

p=Xpi=Xmivi=m1v1+m2v2
i i
est laanqut´titnematotmedeevuoelou´rsetnceluattiquin´eeemeyst`dus
dansR
LO=XLO i=XOMi∧mivi=OM1∧m1v1+OM2∧m2v2
i i

est leoteulatmomentcin´etiqneedsysume`tOdansR
Ec=XEci=X12mivi212=m1v1221+m2v22
i i

est l’ateleuotetiqcin´rgie´enetse`udysdamensR.

1.2

Centre de masse

Lecentredemassedusyst`eme(ouencorecentre
barycentre) est le pointGfinipd´ear:

d’inertie,

(m1+m2)OG=m1OM1+m2OM2

Oleocqneuedet´tuanoinpquntR; siO=G

m1GM1+m2GM2= 0

Choisissons un pointOfixe dansR

dOGm1v1+m2v2
vG=dt=m1+m2

est la vitesse du centre de masseGtra`paopparrR

centre

de

gravit´e,

MPSI-2005/2006-Me´caniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmat´eriels

1.3Re´f´erentielbarycentrique

Lere´f´erentielbarycentriqueoure´fe´rentielducentredemasse,not´eR∗, est le
re´f´erentielentranslationparrapport`aRdans lequel le centre de masseGest
fixe (souvent pris comme origine deR∗).

Attention : pour queR∗euuˆqrienssautba,liillf´oeietngRlaliiogtsismaen´e
aussi quevG=cte

R∗netnate´ppro`taionparratranslatRnemmtiffndre´eri´eriveo,pnuedt
parrapport`aRouR∗:tirce´’desvtionsessitesl,opiscamo

v=v∗+ve=v∗+vG

lacompositiondesacce´l´erations:

a=a∗+ae=a∗+aG

´
1.4Ele´mentscinetiquesdansR∗
´

1.4.1

Quantit´edemouvementtotale

p∗=Xpi∗=Xmivi∗=m1v1∗+m2v∗2
i i

p∗=m1(v1−vG) +m2(v2−vG) = 0

Laquantite´demouvementtotaledusyst`emedansR∗est nullep∗= 0

1.4.2

Momentcine´tiquetotalenG

L∗G=XLiG∗=XGMi∧mivi∗=GM1∧m1v1∗+GM2∧m2v∗2
i i

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

page 2/5

L∗G= (GO+OM1)∧m1v1∗+ (GO+OM2)∧m2v∗2
=GO∧(m1v∗1+m2v∗2) +OM1∧m1v1∗+OM2∧m2v∗2
= 0 +OM1∧m1(v1−vG) +OM2∧m2(v2−vG)
=OM1∧m1v1+OM2∧m2v2−(m1OM1+m2OM2)∧vG
=LO−OG∧mvG

Cetterelation,quisera´etudi´eeen2eelgrifateKednioe´ee,estaann´hoe`rmepplee´te
au moment cinetique :
´
LO=L∗G+OG∧mvG

´
1.4.3Energiecin´etiquetotale

E∗=XEci∗=X21mivi∗21=2m1v1∗2+21m2v2∗2
c
i i

E∗12m1v1∗21∗2
c 2= +m2v2
=21m1(v1−vG)2+12m2(v2−vG)2
=21m1v1221+m2v22−(m1v1+m2v2)vG(21+m1+m2)v2G
=Ec−mv2G+12mv2G
=Ec−1mv2G
2

Cetterelation,quiserae´tudi´eeen2e´leehte´e,tspaepann´eefitalreigenKodeme`eor
a`l’e´nergiecinetique:
´
Ec=Ec∗21+mv2G

MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmat´eriels

2

Dynamiquedusyste`me

2.1Forcesint´erieuresetforcesext´erieures

De´composonsF1enFext→1+F2→1`uoFext→1ri´ereuaplre’txxere´ceetlaforcees
surM1etF2→1 ´el forc parM2surM1.
a e exerce

DemeˆmeF2=Fext→2+F1→2

Les forcesF2→1etF1→2s’exercant entreM1etM2ospatnl´peseeforces
¸
int´rieuresasusy`teme,lesautresfornate´secseltcrofert´exesesurieau
e
st` .
sy eme

2.2The´or`emedelaquantite´demouvement

outhe´ore`medelare´sultantecin´etique

Rtnagil´le´atdynadelantaldame`eaimuqiqplaputpeonn,eenofepicnirpelreu
M1
ddpt1=F1=Fext→1+F2→1
eta`M2
dp

2
dt=F2=Fext→2+F1→2
enajoutantmembr`amembreonfaitapparaˆıtrelaquantit´edemouvementto-
e
tale :
d(p1d+tp2)=F1+F2=Fext→1+Fext→2+F2→1+F1→2
en utilisant la 3eoi:nlar´eacttionetdeca’ledepicnirpuoonwtNedeoil

ddpt=Fext
`ptettnelatuomeemevtianedt´stequlaFextalatluse´rent
ou o
ext´erieuresquis’exercentsurlesyst`eme:

p=m1v1+m2v2=mvG
dpdvGFxt
dt=mdt=maG=e

DamienDECOUT-Derni`eremodification:f´evrier2007

des forces

page 3/5

Le mouvement deGntoinp’uidluce`aessamedleire´tamestidentiquem=
m1+m2sauoumis`elagelacr´eenofteansfde´earltsuire´erueecrotxess.
`

2.3Th´`dumomentcine´tique
eoreme

SoitOun point fixe deRgalil´
een

Appliquonslethe´ore`medumomentcine´tiqueenOa`M1
dLdtO1=OM1∧F1=OM1∧Fext→1+OM1∧F2→1

eta`M2
dLdtO2=OM2∧F2=OM2∧Fext→2+OM2∧F1→2
enajoutantmembre`amembreonfaitapparaˆıtrelemomentcin´etiquetotal:

d(LO1dt+LO2=)OM1∧Fext→1+OM2∧Fext→2+M1M2∧F1→2

en utilisant la 3ecaitnoteiceped’lction:delar´ealouoninprdeoiwtNe

ddLtO=MO ext
ou`LOnetolauqteseti´eintcenomemtlOetMO extnttaenesulntr´momeleO
desforcesext´erieuresquis’exercentsurlesyste`me.

´
2.4 Etude ´ ´ti
energe que

2.4.1The´ore`medel’´energiecine´tique
Rtena´lie´gtlamedeor`eth´eerleiluqatpppnueneo,`aueiqte´niceigrene´’lM1

et `M2
a

ddEtc1=F1v1=Fext→1v1+F2→1v1

dEc2
dt=F2v2=Fext→2v2+F1→2v2

MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syst`emeforme´dedeuxpointsmat´eriels

enajoutantmembrea`membreonfaitapparaıˆtrel’e´nergiecin´etiquetotale:

)
d(Ec1+Ec2=Fext→1v1+Fext→2v2+F2→1v1+F1→2v2
dt

Contrairementauxdeuxcaspre´ce´dents,iln’ya,apriori,aucuneraisonqueles
termesfaisantapparaıˆtrelesforcesinte´rieuresdisparaissent:

ddEtc=Pext+Pint

ou`Ec,ateleuotetiqcin´rgie´enee’ltsPextlpateserueire´txesceorsfdeceanssuiPint
lapuissancedesforcesint´erieures.

2.4.2Puissancedesforcesint´erieures

Remarquonsquelapuissancedesforcesinte´rieuresestind´ependantedure´feren-
´
tiel :

Pint=F2→1v1+F1→2v2=F1→2(v2−v1) =F1→2(v2∗−v∗1)

Enparticulier,pourunsyste`merigide,Pint= 0

´ ´
2.4.3Energiepotentielle-Energiem´ecanique

Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas

dEcdEp
=−
dt dt

o`uEpateleuotnaqim´ecrgie´enersl’lt´’nereigpetonetielletotale,aloesE=Ec+Ep
se conserve.

3Syste`meisole´dedeuxpointsmat´eriels

Silesyst`emeestisol´e,Fext→1= 0 etFext→2= 0, alorsFext= 0,MO ext= 0 et
Pext= 0

DamienDECOUT-Derni`eremodification:fe´vrier2007

3.1 Lois de conservation

3.1.1

Conservationdelaquantite´demouvement

dp0⇒p=mv
dt=G=cte
Lere´f´erentielbarycentriqueestdoncgalile´en.

3.1.2Conservationdumomentcin´etique

page 4/5

dLO= 0⇒LO=
dcte
t
RetR∗talsnartpnu’lnoienntta´epnueero,irevdte´pporarra’autt`al-dnire´ffi
remment ; commeL∗G=LO−OG∧mvG
dLO
ddLt∗G=ddLtO−vG∧mvG−OG∧mddvtGdt
=

ddLtG= 0⇒L∗G=cte
Onauraitpuaussiappliquerleth´eor`emedumomentcin´etiqueenG(fixe dans
R∗) dansR∗ligaeel´n.

3.1.3Conservationdel’e´nergiem´ecanique

ddEtc=Pint
Danslecadreduprogrammelesforcesinte´rieuresquis’exercententreM1etM2
sontconservatives(parexempleinteractiongravitationnelleoue´lectrostatique):

E
dd= 0⇒E=cte
t
RetR∗ntta´ednffievire´-,onputre´erieutdpparrapna’la`troslantren’unlioat
remment ; commeEc∗=Ec−21mv2G
dEc∗dEcdvGdEcdE∗
p
dt=dt−mvGdt=d=Pint=Pi∗nt=−
t dt

MPSI-2005/2006-Me´caniqueII-Syst`emeform´ededeuxpointsmate´riels

3.2

R´eduction
corps

du

dE∗0⇒E∗=cte
=
dt

probl`eme`adeuxcorpsa`

3.2.1Mobilefictif-M´eduite
asse r

unprobl``a
eme

Reprenons :
m1a1=F2→1m2a2=F1→2
a=a2−a1=F1→2−F2→1=F1→2+F1→2=F1→2
m2m1m2m1µ
1 1 1
avec = + ,µaleppe´amressdu´eeit:
µ m1m2

d2OM2d2OM1d2M1M2
a=a2−a1=−=
dt2dt2dt2
SoitPappel´obile fictifefid´etr:pani
em

GP=M1M2=rer

un

La relationµa=F1→2liqu´eutdopesionerd´ˆencectrFPelppaDcee´emmo
dansler´efe´rentielbarycentrique(a=a∗ilenmob)`auente´etdere´ffidninoitavir
´equivalentPde masseµforceestuoim`suaenF1→2

Eng´ene´ral,LaforceF1→2tcesseonatrve,ive´peoptrraM1M2epenned´dquete
de la distance relative entreM1etM2

F1→2=F(r)er

Toutsepassedonccommesilemobile´equivalentPressentait la force centrale
conservativecre´´eeparlecentredeforcefixeG.

3.2.2

´
Ele´mentscine´tiques

Laquantit´edemouvementtotaledansR∗noitedellepstnuefiniard´R∗

p∗=m1v1∗+m2v∗2= 0

DamienDECOUT-Dernieremodification:fe´vrier2007
`

La vitesse du mobile fictif :

page 5/5

v=ddGtP=dMd1tM2=dOM2dOM1v1=v2∗−v∗
dt−dt=v2−1

d’ou :
`
v∗1=−mm+2m2v v∗2= +m1m+1m2v
1
d’autre part, les relationsm1GM1+m2GM2= 0 etGP=M1M2=GM2−
GM1tna`:ocdniues
=−m2m1GP
GM1m1+m2GP GM2= +m1+m2

calculonsalorsl’e´nergiecin´etiqueetlemomentcine´tique:
Ec∗=12m1−m1m+2m2v221+m2+m1m+1m2v212=µv2

L∗G=GM1∧m1v∗1+GM2∧m2v2∗
=−m1m+22GP∧m1−m1m+2m2v+m1m+1m2GP∧m2m1m+1m2v
m
=GP∧µv

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