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Cours - Thermodynamique - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Elements de statique des fluides dans le champ de pesanteur

De
4 pages
Cours de thermodynamique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Du gaz parfait monoatomique aux phases condensés (2) Elements de statique des fluides dans le champ de pesanteur (3) Premier principe : bilans d'énergie (4) Deuxième principe : bilans d'entropie (5) Changement d'état du corps pur
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´
MPSI - Thermodynamique - El´ements de statique des fluides dans le champ de pesanteur page 1/3
1 Forces de pression dans un fluide au repos
´
El´ements de statique des fluides dans
1.1 Quelques d´efinitions
le champ de pesanteur
Un fluide est un ensemble d’entit´es microscopiques (atomes, mol´ecules...)
occupant un volume dont la forme g´eom´etrique s’adapte aux parois du r´ecipient;
Table des mati`eres
en pratique liquide ou gaz
1 Forces de pression dans un fluide au repos 1
On d´ecoupe `a l’instant t le fluide en ´el´ements de volume dτ(M) petit `a
1.1 Quelques d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
l’´echelle macro et suffisamment grand a` l’´echelle micro pour pouvoir d´efinir des
1.2 Forces volumiques et forces surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . 1
grandeurs moyenn´ees sur dτ(M) = particule de fluide
´
1.3 Equivalent volumique des forces de pression . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Principe fondamental de la statique des fluides . . . . . . . . . . . 2
L’approximation des milieux continus consiste alors `a d´efinir des champs
macro en faisant des moyennes sur les ´el´ements de volume dτ(M)
´
2 Etude de l’atmosph`ere isotherme 2
2.1 Mise en place du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
par exemple, le champ de masse volumique
2.2 Calcul du champ de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
dm
2.3 Ordres de grandeur et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
ρ(M) =

2.4 Interpr´etation statistique : facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . 3
P
ou` dm = m est la masse totale des mol´ecules contenues dans dτ(M)
i
3 Statique des fluides incompressibles 3
3.1 Int´egrale premi`ere spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
le champ des vitesses
P
3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
v
i
v(M) = =<v >
i
3.2.1 Principe des vases communicants . . . . . . . . . . . . . . . 3
dN
3.2.2 Interface entre deux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ou` dN est le nombre de mol´ecules contenues dans dτ(M)
3.2.3 Variation de la pression avec l’altitude . . . . . . . . . . . . 3
3.2.4 Th´eor`eme de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dans toute la suite, on se limitera au cas d’un fluide au repos
4 Pouss´ee d’Archim`ede 3
v(M) =O
1.2 Forces volumiques et forces surfaciques
On suppose dans le chapitre pr´ec´edent que le syst`eme thermodynamique n’est
soumis `a aucune force ext´erieure Parmi les actions ext´erieures subies par une partie quelconque d’un fluide, il faut
distinguer :
Dans ce chapitre on ´etudie les propri´et´es d’un fluide au repos dans un r´e-
f´erentiel galil´een en tenant compte du champ de pesanteur (i) les forces volumiques qui d´ecrivent des interactions a` longue port´ee; la
force dF subie par une particule de fluide est proportionnelle `a dτ ce qui permet
v
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007´
MPSI - Thermodynamique - El´ements de statique des fluides dans le champ de pesanteur page 2/3

dp
de d´efinir une densit´e volumique de force
ρgdτ− e dτ = 0
z
dz
dF
v
f =
v

dp
=−ρg
dz
par exemple dans le champ de pesanteur dF =dmg =ρgdτ
v
si l’axe z est orient´e suivant la verticale ascendante
(ii) les forces surfaciques qui d´ecrivent des interactions a` courte port´ee
(forces de contact et chocs); nous admettrons comme un r´esultat de l’exp´erience,
dp
= +ρg
que dans un fluide au repos
dz
dF =−p(M)dSn
s
si l’axe z est orient´e suivant la verticale descendante
ou` n est sortant; ces forces existent aussi `a l’int´erieur mais elles se compensent!
´
2 Etude de l’atmosph`ere isotherme
´
1.3 Equivalent volumique des forces de pression
2.1 Mise en place du mod`ele
Soit une particule de fluide de volume = dxdydz soumise `a la pesanteur; la
pression variant uniquement suivant z (exp´erience) Nous supposons avant tout l’existence d’un ´equilibre thermodynamique
local : en un point A quelconque de cˆote z, une particule de fluide de volume
dp
dτ(A) constitue un syst`eme thermodynamique au sens du chapitre pr´ec´edent,
dF =−p(z)dxdy(−e )−p(z +dz)dxdy(+e ) =− e dτ
z z z
dz
on peut notamment d´efinir sa pression p(A), sa temp´erature T(A) et sa masse
volumique ρ(A)
comme si la particule de fluide ´etait soumise a` une force volumique de densit´e
volumique

Nous assimilons l’atmosph`ere a` un GP de masse molaire M ce qui est rai-
dp
f =− e
sonnable car la densit´e mol´eculaire y est suffisammentfaible. On peut alors´ecrire
v z
dz
l’´equation d’´etat locale
ρ(A)dτ(A)RT(A)
p(A)dτ(A) =dnRT(A) =
Dans le cas g´en´eral ou` la pression peut d´ependre des trois coordonn´ees, on
M
d´emontre
dm
f =−gradp
v
puisque dn =
M
1.4 Principe fondamental de la statique des fluides
2.2 Calcul du champ de pression
Pour que le fluide soit au repos dans le champ de pesanteur, il faut que le poids
(voir TD)
de chaque particule fluide soit compens´e par les forces de pression exerc´ees sur la

particule de fluide (´equilibre m´ecanique pour chaque particule fluide)
Mgz
p(z) =p exp −
0
RT
dF +dF = 0
v s
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007´
MPSI - Thermodynamique - El´ements de statique des fluides dans le champ de pesanteur page 3/3
2.3 Ordres de grandeur et cons´equences
Lorsqu’unsyst`eme thermodynamiqueen´equilibre`a la temp´eratureT est consti-
−1 −1 −1 −2
Avec M = 29g.mol , R = 8,314J.K .mol , T = 273K, g = 9,8m.s et
tu´e de mol´ecules dont l’´energie individuelle peut prendre diff´erentes valeurs,
p = 1bar on trouve pour z = 100m p = 0,988bar
0 les mol´ecules se r´epartissent sur les diff´erents niveaux ´energ´etiques proportion-


nellement au facteur exp −
La variation relative de pression n’est donc que de 1,2% lors d’un d´eplace-
k T
B
ment vertical de 100 m`etres
Les niveaux les plus peupl´es sont donc les niveaux de plus basse ´energie
Dans un gaz peu dense occupant un volume raisonnable, l’influence de la pesan-
3 Statique des fluides incompressibles
teur sur le champ de pression est n´egligeable
3.1 Int´egrale premi`ere spatiale
Ce qui justifie l’approximation faite dans le premier chapitre, approximation que
nous ferons dans les chapitres suivants
Lesliquides´etantbeaucoupplusdensesquelesgaz,iln’esteng´en´eralpaspossible
de n´egliger les effets de la pesanteur sur le champ de pression; en revanche on
L’atmosph`ere terrestre, qui s’´etend sur plusieurs dizaines de kilom`etres,
peut consid´erer qu’ils sont incompressibles et indilatables (ou T uniforme)
apparaˆıt en revanche comme un syst`eme suffisamment ´etendu pour que l’in-
fluence de la pesanteur s’y fasse sentir. N´eanmoins, le mod`ele de l’atmosph`ere
ρ(p,T) =ρ =cte
isotherme ne s’applique qu’`a la haute atmosph`ere, pour des couches d’air dont
en pratique, on parlera de fluide incompressible et homog`ene
l’altitude est comprise entre 11 et 30km avec une temp´erature de l’ordre de
223K. En effet, l’uniformit´e de la temp´erature suppose un brassage suffisant des
le principe fondamental de la statique des fluide donne alors
couches atmosph´eriques ce qui n’est pas le cas `a basse altitude ou` le mod`ele du
gradient de temp´erature est mieux adapt´e
p+ρgz =cte
2.4 Interpr´etation statistique : facteur de Boltzmann
attention `a l’orientation des axes
cette relation s’applique en tout point d’un mˆeme volume de fluide; pour des
voir TD
volumes disjoints la constante diff`ere

mgz

n =Cexp −
k T
B
3.2 Applications
Si nous d´ecoupons l’atmosph`ere en couches successives de cˆote z correspondant
voir TD
chacune `a un niveau d’´energie = mgz, le r´esultat pr´ec´edent montre que les
mol´ecules se r´epartissent sur les diff´erents niveaux d’´energie possibles propor-

3.2.1 Principe des vases communicants
mgz
tionnellement `a unfacteur statistique exp − appel´e facteur deBoltzmann
k T
B
La surface libre d’un fluide est contenue dans un plan horizontal
Nous admettrons que ce r´esultat se g´en´eralise :
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007´
MPSI - Thermodynamique - El´ements de statique des fluides dans le champ de pesanteur page 4/3
3.2.2 Interface entre deux fluides
L’interface entre deux fluides de densit´es diff´erentes est contenue dans un plan
horizontal
3.2.3 Variation de la pression avec l’altitude
p −p =ρg(z −z )
2 1 1 2
3.2.4 Th´eor`eme de Pascal
Toute variation de pression en un point d’un fluide incompressible est int´egra-
lement transmise en tout point du fluide
4 Pouss´ee d’Archim`ede
Les forces de pression exerc´ees par un fluide au repos sur un corps plac´e en son
sein ontuner´esultanteappl´eepouss´ee d’Archim`edeoppos´ee au poidsdu fluide
d´eplac´e ; la pouss´ee est appliqu´ee au centre d’inertie C du fluide d´eplac´e
appel´e centre de pouss´ee
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007