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Deformations of Algebraic Schemes

De
In one sense, deformation theory is as old as algebraic geometry itself: this is because all algebro-geometric objects can be “deformed” by suitably varying the coef?cients of their de?ning equations, and this has of course always been known by the classical geometers. Nevertheless, a correct understanding of what “deforming” means leads into the technically most dif?cult parts of our discipline. It is fair to say that such technical obstacles have had a vast impact on the crisis of the classical language and on the development of the modern one, based on the theory of schemes and on cohomological methods. The modern point of view originates from the seminal work of Kodaira and Spencer on small deformations of complex analytic manifolds and from its for- lization and translation into the language of schemes given by Grothendieck. I will not recount the history of the subject here since good surveys already exist (e. g. [27], [138], [145], [168]). Today, while this area is rapidly developing, a self-contained text covering the basic results of what we can call “classical deformation theory” seems to be missing. Moreover, a number of technicalities and “well-known” facts are scattered in a vast literature as folklore, sometimes with proofs available only in the complex analytic category. This book is an attempt to ?ll such a gap, at least p- tially.
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Contents
Terminology and notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Infinitesimal deformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 The module ExA(R,I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Extensions of schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Locally trivial deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Generalities on deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Infinitesimal deformations of nonsingular affine schemes . . . 1.2.3 Extending automorphisms of deformations . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Firstorder locally trivial deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Higherorder deformations – obstructions . . . . . . . . . . . . . . . .
Formal deformation theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Functors of Artin rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 The theorem of Schlessinger . . . . . . . . . . . . . 2.4 The local moduli functors . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Obstruction spaces . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Algebraic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Formal versus algebraic deformations . . . . . . 2.6 Automorphisms and prorepresentability . . . . 2.6.1 The automorphism functor . . . . . . . . 2.6.2 Isotriviality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 9 9 12 15 20 20 23 26 29 32
37 37 44 54 64 64 69 72 75 89 89 96
X
3
4
Contents
3.1 3.2 3.3 3.4
Examples of deformation functors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Affine schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.1 Firstorder deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.2 The second cotangent module and obstructions . . . . . . . . . . . 109 3.1.3 Comparison with deformations of the nonsingular locus . . . . 117 3.1.4 Quotient singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Closed subschemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2.1 The local Hilbert functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2.2 Obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.3 The forgetful morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.2.4 The local relative Hilbert functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Invertible sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3.1 The local Picard functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3.2 Deformations of sections, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.3.3 Deformations of pairs(X,L). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.3.4 Deformations of sections, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.4.1 Deformations of a morphism leaving domain and target fixed 157 3.4.2 Deformations of a morphism leaving the target fixed . . . . . . 161 3.4.3 Morphisms from a nonsingular curve with fixed target . . . . . 172 3.4.4 Deformations of a closed embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.4.5 Stability and costability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Hilbert and Quot schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Castelnuovo–Mumford regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flatness in the projective case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Flatness and Hilbert polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Stratifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Flattening stratifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Grassmannians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quot schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Local properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flag Hilbert schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Local properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examples and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Complete intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4.6.2 An obstructed nonsingular curve inIP. . . . . . . . . . 4.6.3 An obstructed (nonreduced) scheme . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Relative grassmannians and projective bundles . . . .
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187 187 194 194 198 200 206 206 207 209 213 219 219 223 227 227 230 235 235 237 238 240
A
B
C
D
E
4.7
Contents
4.6.5 Hilbert schemes of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 Schemes of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.7 Focal loci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Equisingular infinitesimal deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 The Severi varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Nonemptiness of Severi varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
247 249 251 254 254 256 262
Flatness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Differentials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Smoothness293. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complete intersections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 D.1 Regular embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 D.2 Relative complete intersection morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Functorial language. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
List of symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index333. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
http://www.springer.com/978-3-540-30608-5