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Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Séries numériques : indications et réponses

De
3 pages
Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.
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Réponses d’Analyse
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Réponses et Indications (Séries numériques)
 Exercice 1 +∞ +∞ 1) an=24 etbn=3e. n=0n=0 2) (un) et (vn) sont divergentes, (wn convergente.) est Exercice 2 1) Utiliser la définition de la limite. 2) Pour 0< appliquer le 1) à1 ,ε =12et majorer (un) par une série convergente. Pour>1, appliquer le 1) àε =2te 1reronim  (un une série divergente.) par onver ente car 3) (un g c) estnlim+∞nun= .21 Exercice 3 1) Utiliser la définition de la limite. 2) Pour 0< appliquer le 1) à1 ,ε =12 (et majorerun une série convergente.) par Pour>1, appliquer le 1) àε = er(21 tem niroun une série divergente.) par 3) (un) est lim divergente carun+1=e. n→+∞u n
Exercice 4  Partie A 1) Utiliser par exemple la concavité de ln (il y a d’autres méthodes !). 2) Appliquer le 1) àk, puis sommer de 1 àn. 3) Série divergente.  Partie B 1) Comparerketkα. 2) Série divergente siα ≤1 .  Partie C 1) Utiliser la convexité dex(1+x)α. . 2)  Appliqueret 3) le 1) àké par inégalitlpei rlsim luit11pu,kα1 k 4) et 5)Snα (1 teSn Série convergente si) croissante.α >1. Exercice 5 1) a)f"(x)= −lxn2(xln+x)α++2 1. b) Utiliser le sens de variations def' etuk+1=f' (k+1) . c) Inégalité des accroissements finis. d) Série convergente. MajorerSn (en sommant de 2 àn convergence monotone.1) et 2) Sommer le c) de 1) denà (p faire tendre1) etpvers l’infini.
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