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Exercices sur
la convergence uniforme
1.Calculer la norme infinie des fonctionsfdeRdansRci´epretd´rseseiceinossudse lesquellessontborne´es. x 2 a)f(x) = arctanxb)f(x) = c)f(x) = sin(x) 2 1 +x 2 3 2 x+ sinx x12x d)f(x) = e)f(xf)) = f(x) = 2 2 4 x+ 1x12 ++ 1 x 2.Etudier la convergence simple et uniforme surRdes suites (fnfed)tcnosnoie´dnies cidessous xsin(nx) a)fn(x) = b)fn(x) = c)fn(x) =xarctan(nx) 2 2 2 1 +nx1 +n x 3.Etudier la convergence simple et uniforme surRde la suite de fonctions (fn)n0 de´niespar 0 six6=n fn(x) =3 nsix=n + 4.SoitarmesuEtl.eer´rembnouniforetunmplecesigrnenoevlrcadueiRde la suite (fn)n1nied´nsrpaesdtcoifeno
anx fn(x) =.n xe
5.Etudier la convergence simple et uniforme sur [ 0,[ 01 ] , puis sur , a] avecadans ] 0,1 [ de la suite (fn)n1rapseine´onsdnctidefo
n n+1 fn(x) =n(xx).
6.[ 0Etudier la convergence uniforme sur ,+[[ , puis sur a,+[ aveca >0 de la suite (fn)n1ine´dsnrapsedioctonef
2 2 π+n x fn(x) = sin. 2 1 +n x 7.[ 0Etudier la convergence uniforme sur ,puis sur 2 ] , [ 0, a] suite (fn)n1arspiene´dsnoitcnofed
aveca] 0,1 [ de la
n+1 2πx fn(x) = sin. n 1 +x n x x+n 8.Soit la suite (fn)n0deurss[0e´dseincnofnoit,+[ parfn(x) = . 2n2x x+n a) Trouver la limite simple de la suite (fn[ 0) sur ,+[ . Aton convergence uniforme sur cet intervalle ?
b) Montrer que pour tout couple (X, Yptsotifiosanesbromen)dnemetcirtsslee´r
X+Y2 2 2 X+Y X+Y
1
.
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