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Probabilit´esetstatistiques M2MT01 - TD2
Exercice 1 :fenUmruodesilpe´urunacesasixd´e`.scAafecsemoahuqleelt,metlsioiche prochainparmilestroissommetsvoisinsaveclamˆemeprobabilite´.Lafourmide´marredupoint Ippsoniotelopointtlep´eesO. 1.Quelestlenombremoyendepasavantlapremie`revisiteenO? 2. Quelest le nombre moyen de pas faits par la fourmi avant de revenir enI? 3. Quelest le nombre moyen de visites enOavant de revenirI?
Exercice 2 :tleerueTlan,utBroBeLpourunm´nalementorvunetnasdreteleudelbarome a`3(tout¸capourquelquesdollarsdeplus).Poussimplier,nousd´esigneronsparAle Bon,B la Brute etCeTlLed.anrunutsenoBdrueritBrLaeeutst´eliteettouchesaiclb`ecauospuˆ.r ´egalementunbontireurmaiste´tanise´parlenjeu,ilnaque80%dechancesdetoucher.Enn, leTruandamalchoisisonemplacement;´eblouiparlesoleilcouchant,ilnaquuneprobabilit´e de10%datteindresonbut.Lesr`eglesduduelsontlessuivantes: Lepremiertireurseratire´ausort. Chacuntireensuitea`tourderoˆledanslordrelexicographique. Bienentendu,a`chaquefoisquecestsontour,letireurchoisitdetirersursonadversairele plus dangereux. 1.Mod´eliserles´evolutionsdeceduel`alaidedunechaıˆnedeMarkov. 2.LeTruanda´ete´choisiparlesortpourtirerenpremier.IltiredoncsurleBon. (a)Calculerlaprobabilit´equeletruandsurvivesilrateleBonlorsdesonpremiertir. (b)MˆemequestionsiltueleBonlorsdesonpremiertir. (c)Sivouse´tiezleTruand,quellestrat´egieadopteriez-vouslorsdupremiertir?
Exercice 3 :On place un rat dans le labyrinthe suivant.
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1. Achaque fois qu’il se retrouve dans une des 9 cases, le rat choisit une des portes disponibles auhasard,etinde´pendammentdeseschoixpre´c´edents.SoitXnodelm´erlenuanmee`-casevisit´eeparlerat.Mod´eliserle´volutiondeXn. 2.Onconsid`erelapartitiondelespaced´etatsenlestroisclassessuivantes: a={1,3,7,9}b={2,4,6,8}c={5}. On noteYnllaeppraitnetsslaaclueaqale`Xn. Montrer que{Yn, nN}est une chaˆıne deMarkovete´criresamatricedetransitions. 3.De´terminerlamesurestationnairedelachaˆıne{Yn}. 4.Ende´duirelamesurestationnairedelachaıˆne{Xn}.
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