Propagation d'un signal électrique dans un cable coaxial

Alain Robichon

Description

PROPAGATION DANS UN CÂBLE COAXIAL. Page 1 sur 4 PROPAGATION D'UN SIGNAL ÉLECTRIQUE DANS UN CÂBLE COAXIAL. I. Rappels théoriques sur la propagation dans une ligne coaxiale. 1°) Modélisation du câble : ligne à constantes réparties. Un câble coaxial est constitué de deux conducteurs de même axe Ox : un cylindre plein (l'âme) et une tresse cylindrique d'épaisseur négligeable (la gaine). Le conducteur central sert à amener un courant électrique et la tresse extérieure en assure le retour (jouant le rôle de masse). La longueur de câble utilisée fait qu'on ne peut plus négliger le temps de propagation du signal le long de la ligne : on adopte alors un modèle dit à constantes réparties : le câble est caractérisé par sa capacité linéique ?, sa résistance linéique r??et son inductance linéique ???? Compte tenu des caractéristiques du câble, on a ? -11=5,7.10 F /m et ? -7=3,3 .10 H/m. 2°) Propagation du signal électrique dans le cas d'une ligne résistive. a) L'équation de propagation. Le courant ou la tension sont solutions de l'équation de propagation ?? ?? ? ?? ? ? 2 2 2 2 v v v- =rx t t , Q 1. Exprimer la célérité v? des ondes se propageant dans la ligne.

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• propagation

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• Câble coaxial
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Extrait

PROPAGATION DANS UN CÂBLE COAXIAL. PROPAGATION D’UN SIGNAL ÉLECTRIQUE DANS UN CÂBLE COAXIAL. I. Rappels théoriques sur la propagation dans une ligne coaxiale. 1°) Modélisation du câble : ligne à constantes réparties.  Uncâble coaxial est constitué de deux conducteurs de même axe Ox : un cylindre plein (l’âme) et une tresse cylindrique d’épaisseur négligeable (la gaine). Le conducteur central sert à amener un courant électrique et la tresse extérieure en assure le retour (jouant le rôle de masse). La longueur de câble utilisée fait qu’on ne peut plus négliger le temps de propagation du signal le long de la ligne : on adopte alors un modèle dit à constantes réparties : le câble est caractérisé par sacapacité linéique, sarésistance linéique ret soninductance linéique   Comptetenu des caractéristiques du câble, on aet . 2°) Propagation du signal électrique dans le cas d’une lignerésistive. a) L’équation de propagation. Le courant ou la tension sontsolutions de l’équation de propagation, Q 1.Exprimer la célérité vdes ondes se propageant dans la ligne.Faites l’application numé-  rique pour le câble étudié. b) la relation de dispersion. On cherche des solutions à l’équation précédente sous la forme d’ondes planes progressives harmoniques d’images complexe du type: ou, avecka priori complexe :, avec k’ > 0.  Leterme dû à rétant supposépetit devant l’autreet ., on montre que  Q 2.Caractériser la propagation en précisant si elle est : absorbante ? dispersive ? c) Impédance caractéristique du câble.  Pourune onde progressive harmoniquese propageant vers les x), on(type en montre que V et I sont liés par la relation :oùZest appeléeimpédance caracté- C

ristiqueavec etde la ligne. On montre que. Q 3. CalculerRet C’pour le câble étudié.En déduire que l’on peut négliger l’influence de C’ C pour des signaux se propageant dans la ligne avec des fréquences supérieures à 100 kHz. On considérera donc pour la suite que l’impédance caractéristique de la ligne estpurement résistive, de valeurR. C Q 4.Que devient la relation entre V et I pour une onde progressive se propageant vers les x? 3°) Réflexion en bout de ligne fermée sur une impédance terminale Z.  Onsuppose la ligne fermée à son extrémité xsur une impédance terminale Z. maxT  Cettelimitation du milieu de propagation donne naissance à une onde réfléchie, se superposant à l’onde incidente dans la ligne (notez qu’une réflexion a également lieu au niveau du GBF).  Considéronsune onde incidente progressive sinusoïdale de pulsationdonnée.  Lacondition à la limite x = xtraduisant la fermeture de la ligne sur l’impédanceZ, s’écrit en maxT régime harmonique et en notation complexe : V(x, t) = ZI(x ,t). maxTmax Page 1 sur 4

PROPAGATION DANS UN CÂBLE COAXIAL.  Dansla zone x < x, l’onde électrique est constituée de la superposition de l’onde incidente (se max j(t–kx) propageant dans le sens des x croissants) I(x,t) = Ieet de l’onde réfléchie (se propageant inc i0 j(t + kx) en sens inverse) I(x,t) = Ie . ref r0  Ondéfinit le coefficient de réflexion en amplitude, noté oule parrapport, à l’endroit où I V l’onde est réfléchie, entre l’amplitude complexe de l’onde réfléchie et l’amplitude complexe de l’onde incidente.On établit queet Q 5.et dansQue valenten circuit ouvert ?: -les cas où la ligne est, en x = x max  -court-circuitée ? Quels types d’ondes (stationnaires ou progressives) aura-t-on dans la ligne dans ces cas ? Q 6.Pour quelle valeur de Za-t-on R = 0 ? Interpréter. T II. Étude expérimentale de la propagation le long de la ligne.  Réaliserle montage ci-dessous (figure 2) : l’impédance terminale est constituée d’une résis- tance ajustable R(boîte à décades). Utiliser des fils de liaison entre le câble coaxial, le GBF et 0 l’oscilloscopeles plus courts possibles.

Q 7.Compte tenu de la longueur du câble mis à votre disposition,calculer l’ordre de gran- deurde la durée maximale que doit avoir une impulsion émise par le GBF pour pouvoir séparer à l’oscilloscope le signal réfléchien bout de ligne du signal émis. Générer avec le GBF un signal encréneaux dissymétriqueàfronts hauts les plus courts possibles(modifier le rapport cyclique du créneau), et de fréquence telle que l’on puisse distinguer sur l’oscilloscope le signal émis en tête de ligne ainsi que la réflexionen bout de ligne (on peut même visualiser une double réflexion mais le signal est alors très fortement amorti). Envoyez des signaux de grande amplitude (quelques volts)dans le câble et laissez l’autre ex- trémité du câble ensortie ouverte: Q 8.Quelle valeur d’impédance terminale Za-t-on ainsi réalisé ? T  Observezles impulsions incidente et réfléchie :le sens du signal réfléchi était-il prévisible?  Sonamplitude est un peu inférieure à celle du signal incident :interpréter. Q 9.Comparez les durées des impulsions incidente et réfléchie :que peut on en déduire sur la dispersion introduite par la câble coaxial ? Q 10.Faire une mesure de la vitesse moyenne de propagation vdans le câble, avec le plus moy de précision possible.Comparer avec la valeur théorique calculée à la question 1. Branchez maintenant l’autre l’extrémité du câble sur une résistance variable (x1, x10, x100x1 k). Q 11.Déterminez le plus précisément possible la valeur de l’impédance caractéristique de la ligne (on expliquera la méthode utilisée). Page 2 sur 4

PROPAGATION DANS UN CÂBLE COAXIAL. Q 12.Court-circuitez la ligne en sortie :quelle impédance terminale a-t-on réalisé? Observa- tions ? Le résultat était-il prévisible ? Atténuation du signal. Q 13.La ligne étant court-circuitée en sortie, observez que les impulsions réfléchies sont amor- ties :évaluez le rapport del’amplitude de l’impulsion réfléchie surde cellel’impulsion inci- dente. Sachant qu’uneO.P.P.H., légèrement amortie, de pulsationpeut s'écrire : -1 ,estimez la valeur expérimentale de.: la donner en m Q 14.Montrezen vous aidant des résultats de la partie I que l’on a: ,oùr est la résis- tance linéiquecâble et duRsa résistance caractéristique.Déduire de la mesure précé- c dente deune valeur expérimentale pour r. Remarque : Larésistance du câble, mesuréeà l’ohmmètre, donc en courant continu, conduit à une valeur de r bieninférieure à la valeur déduite des mesures. Cette différence vient d’un effet in- ductif appeléeffet de peaudû à une mauvaise pénétration du signal dans le câble, qui circule es- sentiellement à la surface du conducteur central. 3°) Ondes stationnaires dans la ligne. L’entrée du câble est toujours directement branchée à la sortie du GBF qui délivre mainte- nant unetension sinusoïdalede fréquence f qu’on fera varier de 1 à 5 MHz environ (selon les possibilités du GBF). FaireR =0pour avoir un nœud de tension enx = L(court-circuit). 0  Lesexpériences précédentes ont montré que la réflexion se faisait avec changement de signe. S’il n’y avait pas d’atténuation, la superposition des ondes incidente et réfléchie conduirait à une tension le long du câble du type :.  Onreconnaît uneonde stationnaireavec nœuds et ventresde tension. Q 15.L’oscilloscope étant placé en x = 0, pour quelles valeurs du produit kL repérera-t-on un nœud de tension? Montrer que la longueur du câble et la fréquence du signal sont alors liées par la relation :, où vest la vitesse de phase dans le câble.  ère  Pourquelle valeur minimale fobtient-on pour la 1fois un nœud de tension en x= 0 ? 0  Cherchezun ordre de grandeur de fcompte tenu de la valeur déjà calculée pour v. 0 Faire varier la fréquence f du signal GBF : vous devez observer des maxima et des minima de tension en x = 0. Entre deux nœuds de tension, observez qu’il existe une fréquence correspon- dant à un maximum (ventre de tension). Consignez vos résultats dans le tableau ci-dessous. fréquence des nœuds de tension (MHz) fréquence des ventres de tension (MHz) nombre de fuseaux p Q 16.Portez sur un graphe les fréquences des minima de tension en fonction de p, puis, par interpolation linéaire, en déduire la valeur de vet comparer avec la valeur précédem-  ment trouvée.

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PROPAGATION DANS UN CÂBLE COAXIAL. GRILLE DES RÉSULTATS. Q 1.Expression de v:: v AN= _________  Q 2.Caractéristiques de la propagation dans la ligne :absorption :dispersion : Q 3.Impédance caractéristique de la ligne : Z= C Q 4._____R =C’ = _______ F. C Impédance équivalentepour des fréquences supérieures à 200 kHz :à Z C Q 5.Relation entre V et I pour une onde se propageant vers les x décroissants : Q 6.Pour une terminaison de ligne en :  Circuitouvert : Z = ______ ; _____ et______  Courtcircuit : Z = ______ ; _____ et______  Dansla ligne, existe une onde ________________ Q 7.On a R = 0si Z= ______. T  Dansce cas, existe dans la ligne une onde _____________ Q 8.Ordre de grandeurde la duréemaximale d’une impulsion pour pouvoir séparer les signaux émis et réfléchis en bout de ligne : ________ Q 9. Impédance terminale en bout de ligne :Z = ______. Allure du chronogramme sur l’oscilloscope: Justification du sens du signal réfléchi: Explication de lade l’amplitude du signal réfléchi par rapport au signal émis par le GBF. Q 11.Comparaison des durées de l’impulsion émise par le GBF et de l’impulsion réfléchie en bout de ligne :  Conséquencesur le caractère dispersif de la ligne : Q 12.Vitesse moyennede propagation vdans le câble : v= _________ moy moy Q 13.Mesure de la valeur de l’impédance caractéristiquede la ligne : Z = ________ C  Méthodeutilisée : Q 14.Impédance terminale en bout de ligne :Z =______. T Allure du chronogramme sur l’oscilloscope: Justification du sens du signal réfléchi : -1 Q 15.Mesure expérimentale de = _________ m -1 Q 16.Valeur expérimentale pour r(résistance linéique) : r= _________. m Q 17. E n x = 0, on repérera un nœud de tension pourkL = _______ Valeur minimale fde pour avoir un nœud de tension en x = 0: f=________ 00

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