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PSI MATHEMATIQUES
Jeudi 9 DÉcembre 2010
Feuille d’Exercices Suites et sÉries de fonctions
Exercice 1: Etudier la convergence simple puis uniforme des suites de fonctions sui-vantes : 2 22 n xsin (xnx) 1.nIN ,x,RIfn(x) =. 2 2 x+n 2nx 2.nIN,xfIR,n(x) =nx e. x + 3.nIN,xIR ,fn(x) =. 1 +nx 1 + 4.nIN,xfIR ,n(x) =. 1 +nx ln(1 +nx) + 5.nIN,xfIR ,n(x) =. 1 +nx 1 x npourx[0,[ n 6.n2, fn(x) =n(x1)1. pourx[,1] n 1n n Exercice 2: Etudier la convergence simple , uniforme puis normale des sÉries de fonctions P fnsuivantes : n 1 n n 1.fn:IRfR,In(x) =(x+ (1x) ). 2 n 1 2n2n+1 2.fn: [0,1],fIRn(x() =xx). 2 n2x n 3.fn:IR+I,Rfn(x) =x e. n (1)x 2n 4.fn:IRf,RIn(x((1 +) =x) ). 2 n Exercice 3: (ENSIIE 2009) 1. Montrerque, pour toutnIN,fndÉfinie parf1(x) = 0etnfIN ,n+1(x) = R p x 2 21 fn(t) +t dtest de classeCsurIR. 0 n+1 x + 2. Montrerque :xIR,0fn+1(x)fn(x). (n+ 1)! 3. EndÉduire que la suite(fn)nadmet une limite simplefpuis quefest continue sur IR.
n P(1) + Exercice 4: ConsidÉrons la sÉrie de fonctionsundÉfinie surIRpar :un(x) =. 2 xn+n X + 1. Montrerqueunne converge pas normalement surIR. n1 X 2. Montrerque, en revanche,unconverge normalement sur tout segment deIR. + n1 X 3. Y-a-t-ilconvergence uniforme deun? n1
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