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PSI Septembre MATHEMATIQUES

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PSI Septembre 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Série Numériques Exercice 1 : Déterminer la nature de la série numérique de terme général un a) un = n? cos( 1 n ) b) un = n?ch( 1 n ) c) un = 1 √ n? 1 ? 2 √ n + 1 √ n + 1 d) un = ln(1 + (?1)n?1 n? ) pour ? > 0. e) un = √ n2 + n + 1? √ n2 + n? 1 f) un = (lnn)n n! g) u1 ? IR et un+1 = 1ne ?un h) u2n = 1 √ 2 + n? 1 et u2n+1 = ? 1 √ 2 + n + 1 Exercice 2 : Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes : 1. ∑ n≥1 1 n(n + 1)(n + 2) . 2. ∑ n≥2 nln 4n3 ? 3n? 1 4n3 ? 3n + 1 . (Utiliser la formule de Stirling) 3. ∑ n≥0 (?1)n 3n + 1 . 4. ∑ n≥0 (?1)n ∫ 1 0 tn √ 1? t2 dt.

  • nature de la série ?un

  • tn √

  • feuille d'exercices série

  • n3 ?

  • convergence de ∑

  • ln cos


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PSI MATHEMATIQUES
Septembre 2010
Feuille d’Exercices SÉrie NumÉriques
Exercice 1: DÉterminer la nature de la sÉrie numÉrique de terme gÉnÉralun 1 cos( ) a)un=n n 1 ch( ) b)un=n n 1 2 1 c)un=√ −+n1n n+ 1 n1 (1) d)un= ln(1 +α)pourα >0. n √ √ 2 2 e)un=n+n+ 1n+n1 n (lnn) f)un= n! 1un g)u1IRetun+1=e n 1 1 h)u2n=etu2n+1=− √ 2 +n1 2+n+ 1 Exercice 2: Montrer que les sÉries suivantes convergent et calculer leurs sommes : X 1 1. . n(n+ 1)(n+ 2) n1 X 3 4n3n1 2.nln. (Utiliser la formule de Stirling) 3 4n3n+ 1 n2 n X (1) 3. . 3n+ 1 n0 Z 1 Xn n 2 4.(1)t1t dt. 0 n0   a X thn 2 5., aIR. n 2 n0   X a π 6.ln cos, a]0,[ n2 2 n0 Exercice 3:(ENSAM 09) 2 Soit la sÉrie de terme gÉnÉralun= sin(π n+ 1) Exprinersin(θ)en fonction denetsinθ. P DÉmontrer queunest une sÉrie alternÉe et Étudier la convergence de cette sÉrie.
Exercice 4: +X P1 1e 1 Sachant quee=, montrer quen!. n! n+ 1k!n+ 1 k=n+1 Donner la nature de la sÉrie de terme gÉnÉralsin(2πn!e).
Exercice 5: n P1 Etudier la suite de terme gÉnÉral :un= ch√ −n. k=1n+k
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