Sujet : Analyse, Dérivation, Théorème du prolongement C1

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème du prolongement C1 Exercice 1 [ 01389 ] [correction] 2x lnx si x = 0+Montrer que la fonction f :R →R définie par : f(x) = est 0 si x = 0 1 +de classeC surR . Exercice 2 [ 01390 ] [correction] n+1x si x> 0 nSoit n∈N, montrer que la fonction f :x7→ est de classeCn 0 sinon surR. Exercice 3 [ 01368 ] [correction] + 2 0Soit f :R →R de classeC telle que f (0) = 0. + 1Montrer qu’il existe g :R →R de classeC telle que + 2∀x∈R ,f(x) =g(x ) Exercice 4 [ 01369 ] [correction] Soit α un paramètre réel. On désire résoudre surR l’équation différentielle 0E :xy =αy +? −?On considère x7→y(x) une solution de E surR etR . +? −?a) Donner l’expression de y(x) surR et surR . + − +?On notera C et C les constantes réelles permettant d’exprimer y(x) surR et −?R . + −b) A quelles conditions sur les constantes C et C , est-il possible de prolonger y par continuité en 0? On distinguera trois cas, selon que α 0. + −c) Pour α> 0, à quelles conditions sur les constantes C et C la fonction prolongée y est-elle dérivable en 0? On distinguera trois cas, selon que 0 1. d) Résumer l’étude précédente en donnant la solution générale de E surR en fonction de α. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 +? −? + −Corrections Comme y est solution surR etR , il existe C ,C ∈R tels que α α+ −∀x> 0, y(x) =C |x| et∀x 0, f (x) = 2xlnx+x.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 96
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

On considèrex7→y(x)une solution deEsurR+?etR−?.
a) Donner l’expression dey(x)surR+?et surR−?.
On noteraC+etC−les constantes réelles permettant d’exprimery(x)surR+?et
?
R−.
b) A quelles conditions sur les constantesC+etC−, est-il possible de prolongery
par continuité en 0 ?
On distinguera trois cas, selon queα <0,α= 0ouα >0.
c) Pourα >0, à quelles conditions sur les constantesC+etC−la fonction
prolongéey ?est-elle dérivable en 0
On distinguera trois cas, selon que0< α <1,α= 1ouα >1.
d) Résumer l’étude précédente en donnant la solution générale deEsurRen
fonction deα.

E:xy0=αy

Exercice 2[ 01390 ][correction]
ctionfn:x7xn+1
Soitn∈N, montrer que la fon→0
surR.

Théorème du prolongement C1

1

∀x∈R+ f(x) =g(x2)

Exercice 4[ 01369 ][correction]
Soitαun paramètre réel. On désire résoudre surRl’équation différentielle

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Enoncés

six6= 0
six= 0

est de classeCn

est

de classeC1surR+.

six>0
sinon

x2lnx
0

Exercice 1[ 01389 ][correction]
Montrer que la fonctionf:R+→Rdéfinie par :f(x) =

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Exercice 3[ 01368 ][correction]
Soitf:R+→Rde classeC2telle quef0(0) = 0.
Montrer qu’il existeg:R+→Rde classeC1telle que

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
fest continue surR+et de classeC1sur]0+∞[.
Pourx >0,f0(x) = 2xlnx+x.
Quandx→0+,f0(x)→0doncfest dérivable en 0 etf0(0) = 0.
De plusf0est continue en 0 et finalementfest de classeC1surR+.

Exercice 2 :[énoncé]
Procédons par récurrence surn∈N.
Pourn= 0, la fonction considérée est continue.
Supposons la propriété établie au rangn>0.
fn+1est continue surRet dérivable surR?.
Pourx6= 0,f0n+1(x) = (n+ 2)fn(x).
Quandx→0,fn0+1(x)→0 = (n+ 2)fn(0)doncfn+1est dérivable en 0 et
fn0+1(0) = 0.
Ainsifn+1est dérivable surRetf0n+1= (n+ 2)fn.
Par HR,fnest de classeCnet doncfn+1est de classeCn+1.
Récurrence établie.

Exercice 3 :[énoncé]
Posonsg:R+→Rdéfinie par

g(t) =f(√t)

Par compositiongest de classeC1surR+?et
∀x >0 g0(t)f0(2√ptt)
=
gest continue et
g0(t) =f0(√t2)√−ft0(0)t−→−0→f00)02(
doncgest dérivable etg0est continue en 0.
Ainsigest de classeC1.

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a)Eest une équation différentielle linéaire d’ordre 1 de solution générale surR+?
etR−?:
α
y(x) =C|x|

Commeyest solution surR+?etR−?, il existeC+ C−∈Rtels que

∀x >0,y(x) =C+|x|αet∀x <0,y(x) =C−|x|α

b) Siα <0alors
y(x)x−→−0−+→0±∞isnsiCon+6= 0ety(x)x−→−0−−→0±∞nisisCon−6= 0

ypeut tre prolongée par continuité en 0 si, et seulement si,C+=C−= 0et
alorsy(0) = 0.
La solution correspondante est la fonction nulle qui est solution deE.
Siα= 0alors
y(x)−−−→C+ety(x)−−0−−→C−
x→0+x→
ypeut tre prolongée par continuité en 0 si, et seulement si,C+=C−et alors
y(0) =C+.
La solution correspondante est une fonction constante qui inversement est
solution deE.
Siα >0alors
y(x)x−→−0−+→0ety(x)x−→−0−−→0
ypeut tre prolongée par continuité en 0 indépendamment deC+etC−en
posanty(0) = 0.
c) Siα∈]01[alors
y0(x)x−→−0−+→0±∞sinsiCon+6= 0ety0(x)x−→−0−−→±∞siCon−6= 0
0sin

En vertu du théorème du prolongementC1, la fonctionyest dérivable en 0 si, et
seulement si,C+=C−= 0.
La solution correspondante est la fonction nulle qui est solution deE.
Siα= 1alors
y0(x)−−−→C+ety0−−→−−C−
x→0+(x)x→0−
−
La fonctionyest dérivable en 0 si, et seulement si,C+=−C.
La fonction correspondante est alorsx7→C+xsurRqui est solution deE.
Siα >1alors
−→0ex−−→0
y0(x)x−→−0+ty0( )x−→0−
La fonction prolongée est dérivable en 0 indépendamment deC+etC−.
Cette fonction est alors solution deEsurRcar dérivable surRet vérifiant
l’équation différentielle.

2

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d) Siα <0ou0< α <1: seule la fonction nulle est seule solution surR.
Siα= 0alors les fonctions constantes sont les solutions deEsurR.
Siα= 1alors les fonctions linéaires (x7→Cx) sont les solutions deEsurR.
Siα >1alors les solutions deEsurRsont les fonctions
C+|x|αsix >0
x7→0six= 0
C−|x|αsix <0

avecC+ C−∈R

Corrections

3

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