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Sujet : Analyse, Deux équations fonctionnelles

De
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Continuité.

Publié par :
Ajouté le : 19 septembre 2013
Lecture(s) : 11
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1.

1.a

1.b

1.c

1.d

2.

2.a

2.b

Soit:ℝ→ℝune app

Deux équations fonctionnelles

lication continue telle que :
∀,∈ℝ,(+)=()+()

Calculer(0) et établir queest une fonction impaire.

Soit∈ℝ. Montrer que pour tout∈ℕ,()=() . Etendre cette relation à∈ℤ.

On pose=(1) . Montrer que pour tout∈ℚ,()=.

En exploitant la continuité de, établir enfin que pour tout∈ℝ,().
=

Soit:ℝ→ − application continue telle que :1,1 une

∀,∈ℝ,(+)=1()(+)((.) )
+   


−
=
Soitϕ:ℝ→ℝdéfinie parϕ(. )11
+
Montrer queϕest réalise une bijection deℝvers− que pour tout1,1 et,∈ℝ,


ϕ(+)=1ϕ+()(+)ϕ(( ).)
ϕϕ

On pose=ϕ−1. Exprimer(+ fonction de) en() et() pour tout,∈ℝ.

2.c En déduire la forme de l’expression de() en fonction de.

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