Sujet : Analyse, Fonction de Lambert et étude d'une famille de fonctions

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Etude de fonctions. Dérivation.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Fonction de Lambert et étude d’une famille de fonctions

Partie I

On considère:ℝ→ℝl’application déterminée par()=e  et on notesa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité égale à 2 cm. 1.a Dresser le tableau des variations de. 1.b Etudier les branches infinies de.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

4.

4.a

4.b

4.c

 

4.d

Etudier la concavité de. En quel point la courbeadmet-elle une d’inflexion ? En quel point la tangente au point d’inflexion coupe-t-elle l’axe des abscisses.

Représenteraccompagnée de la tangente précisée ci-dessus. Montrer que la restriction deau départ de−1,+∞réalise une bijection vers un intervalle que l’on précisera. Dresser le tableau de variation complet de son application réciproque notée.

Sur quel intervalle la fonctionest-elle dérivable ? Exprimer ′ () en fonction de, de( sans exponentielles.) mais Etudier l’existence d’une tangente àen−1 e .

  Dans cette question on se propose d’obtenir une valeur numérique approchée deα=   1 2   .

Justifier queα∈0,1 2 .

− = On introduit la fonction dérivable ϕ:ℝ→ℝ définie parϕ( 1 2 e).  1

Montrer queϕ(α)=αet∀≥0 ,ϕ ′ ()≤ . 2

On définit une suite récurrente réelle (  ) par 0 =0 et∀∈ℕ, +1 =ϕ(  ) . Etablir que la suite (  ) converge versα. Donner une valeur décimale approchée deαà la précision 10 −2 en précisant la démarche suivie.

Partie II

Soitλun paramètre strictement positif. On étudie ici la famille des fonctions λ :ℝ→ℝdéfinies par λ ()=e − +λ 2 . On note λ la courbe représentative de λ dans un repère orthonormé. 1.a Dresser le tableau des variations de λ . On notera λ le point oùadmet un minimum et on exprimera λ en fonction deet deλ. Etablir que λ ( λ )=λ λ ( λ +2) . 1.b Etudier les branches infinies de λ et la convexité de cette fonction.

1.c

2.

2.a

2.b

Donner l’allure de λ . * Dans cette question on étudie la fonction:λ֏ λ définie surℝ + .

Etudier la monotonie de:λ֏ λ ainsi que ses limites quandλ→ +∞et quandλ→0 + . En observant la relation 2λ λ =e − λ , déterminer un équivalent simple de λ quandλ→ +∞.