Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Puissances et exponentielles

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Puissances et exponentielles Exercice 8 [ 03652 ] [correction] Résoudre le système ( a+b+c = 0Exercice 1 [ 01833 ] [correction] b 2 1 1/x a b cSimplifier a pour a = expx et b = lnx .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Puissances et exponentielles

Exercice 1[ 01833 ][correction]
Simplifierabpoura= expx2etb=1lnx1x.
x

Exercice 2[ 01834 ][correction]
Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes :

Exercice 3
Comparer

a)(ab)c=abc
d)(ab)c=ac2bc2

[ 01835 ][correction]

b)abac=abc
e)(ab)c=a(bc)

c)a2b= (ab)2
f)(ab)c= (ac)b?

limx(xx)etlim+(xx)x
x→0+x→0

Exercice 4[ 01836 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
a)limx1x
x→+∞

b)limx√x
x→0

c)limx1x
x→0+

Exercice 5[ 01837 ][correction]
Résoudre les équations suivantes :
a) ex+e1−x=e+ 1b)x√x= (√x)xc)22x−3x−12= 3x+12−22x−1.

Exercice 6[ 01838 ][correction]
Résoudre les systèmes suivants :
a)(28xx05==1yy

Exercice 7
Montrer

[ 03438 ][correction]

b)(e2y=
exa
2xy= 1

∀x∈]01[ xx(1−x)1−x>21

Enoncés

Exercice 8[ 03652 ][correction]
Résoudre le système
(

d’inconnue(a b c)∈R3

a+b+c= 0
ea+ eb+ ec= 3

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(expx2)lnxx1x=x.

Exercice 2 :[énoncé]
a) c) f)

Exercice 3 :[énoncé]
Quandx→0+

et

x(xx)= exp(xxlnx) = exp(exp(xlnx) lnx)→0

(xx)x= exp(xlnxx) = exp(x2lnx)→1

Exercice 4 :[énoncé]
a)limx1x= 1
x→+∞
b)lim0x√x= 1
x→
c)lim+x1x= 0.
x→0

Exercice 5 :[énoncé]
a)S={01}b)S={014}c) Obtenir22x−3= 3x−32puisS={32}.

Exercice 6 :[énoncé]
a)x= 12 y=√25
b) Obtenir un système somme/produit enxet2ypuis le résoudre.

Exercice 7 :[énoncé]
On a

avec

xx(1−x)1−x= expϕ(x)

ϕ(x) =xlnx+ (1−x) ln(1−x)

Corrections

La fonctionϕest dérivable sur]01[et
ϕ0(x) = ln1−xx

On en déduit queϕest décroissante sur]012]puis croissante sur[121[donc

∀x∈]01[ ϕ(x)>ϕ(12) = ln(12)

2

Exercice 8 :[énoncé]
Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.
Inversement, soit(a b c)solution. Posonsx= ea,y= ebde sorte que
ec= e−(a+b)= 1xy.
On a donc >x y0et
1
x+y+ = 3
xy
Poury >0fixé, étudions la fonctionf:x7→x+y+ 1xy.
Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict enx= 1√yvalant
g(y) =y+ 2√y.
La fonctiongest dérivable et admet un minimum strict eny= 1valantg(1) = 3.
On en déduit que si(x y)6= (11)alorsf(x y)>3et donc

f(x y) = 3⇒x=y= 1

On peut alors conclurea=b=c= 0.

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