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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 73 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Nombres réels
Exercice 1[ 02098 ][correction]
Soita∈[1+∞[. Simplifier
q
a+ 2√a−1 +q
Exercice 2[ 02099 ][correction]
Soitf:R→Rune application telle que :
1))2∀∀((xyyx))∈∈RR22ff((xx
3)
a−
2√a−1
+y) =f(x) +f(y)
y) =f(x)f(y)
∃x∈R f(x)6= 0
a) Calculerf(0),f(1)etf(−1).
b) Déterminerf(x)pourx∈Zpuis pourx∈Q.
c) Démontrer que∀x>0 f(x)>0. En déduire quefest croissante.
d) Conclure quef=IdR.
Exercice 3[ 03404 ][correction]
Soientn∈N?etx1 xn∈R. On suppose
n n
Xxk=Xx2=n
k
k=1k=1
Montrer que pour toutk∈ {1 n},xk= 1.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Posons
x=qa+ 2√a−1 +qa−2√a−1
On a
x2= 2a+ 2pa2−4(a−1) = 2a+ 2p(a−2)2
Sia∈[12]alorsx2= 2a+ 2(2−a) = 4doncx= 2.
Sia∈[2+∞[alorsx2= 4(a−1)puisx= 2√a−1.
Exercice 2 :[énoncé]
a)f(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0)doncf(0) = 0.
∀x∈R f(x) =f(1x) =f(1)f(x)
Commefest non nulle, on af(1) = 1.
f(1) +f(−1) =f(0) = 0doncf(−1) =−1.
b) Par récurrence surn∈N:f(n) =n. De plus
f(−n) =f((−1)×n) =f(−1)×f(n) =−f(n) =−ndonc
∀x∈Z f(x) =x
x=pave
Pourx∈Q,qcp∈Z q∈N?,
Orf(p) =pet
f(x) =f(p×1q) =f(p)×f(q1)
1 =f(1) =f(q×q1 ) =f(q)×f( 1q) =q×
f( 1q)
doncf(1q) =1q. Par suitef(x) =x.
c)
∀x>0 f(x) =f(√x√x) =f(√x)2>0
Pourx y∈R, six6yalors
f(y) =f(x+y−x) =f(x) +f(y−x)>f(x)
Ainsifest croissante.
Corrections
d) Pourx∈Retn∈N:
Commefest croissante :
E(nx)6 Ex <(nx) + 1
n n
f(E(nnx))6f(x)< f(E(nnx) + 1 )
puis
E(nxn)6f(x)< E(nx) + 1
n
A la limite, quandn→+∞, on obtientx6f(x)6xi.e.f(x) =x. Finalement
f=IdR.
Exercice 3 :[énoncé]
On a
n n n n
X(xk−1)2=Xx2k−2Xxk+X1 = 0
k=1k=1k=1k=1
et puisqu’une somme de quantités positives n’est nulle que si chaque quantité est
nulle, on obtient
∀16k6n xk= 1
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD