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Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites adjacentes

3 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites adjacentes Exercice 5 [ 02274 ] [correction] [Irrationalité du nombre de Néper] SoientExercice 1 [ 02271 ] [correction] n nX X1 1 1 1 Soient θ∈ ]0,π/2[ et a = et b = + =a +n n n k! k! n.n! n.n!θ θn n k=0 k=0u = 2 sin , v = 2 tann nn n2 2 a) Montrer que (a ) et (b ) sont strictement monotones et adjacentes.n n Montrer que les suites (u ) et (v ) sont adjacentes. Quelle est leur limite On admet que leur limite commune est e. On désire montrer que e∈/Q et pourn n p ?commune? cela on raisonne par l’absurde en supposant e = avec p∈Z,q∈N . q b) Montrer que a 1, u 6v , u 6u et v 6v .n n n n+1 n+1 n c) Etablir que (u ) et (v ) convergent vers une même limite.n n Exercice 3 [ 02272 ] [correction] Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et ?Pour tout n∈N , on pose est notée M(a,b). +d) Calculer M(a,a) et M(a,0) pour a∈R . nX +1 1 e) Exprimer M(λa,λb) en fonction de M(a,b) pour λ∈R .0S = et S =S +n nn2k n k=1 0Montrer que les suites (S ) et (S ) sont adjacentes.n n 2On peut montrer que leur limite commune est π /6, mais c’est une autre histoire... Exercice 4 [ 02273 ] [correction] [Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz] Soit (u ) une suite de réels décroissante et de limite nulle.n nP kPour tout n∈N, on pose S = (−1) u .n k k=0 Montrer que les suites extraites (S ) et (S ) sont adjacentes et en déduire que2n 2n+1 (S ) converge.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Suites adjacentes
Exercice 1[ 02271 ][correction] Soientθ]0 π2[et un= 2n2nisθn,vn= 2ntna2θn Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?
Exercice 2[ 00325 ][correction] On pose un=k=Xn11k2netvn=k=nX12+ 1 1kn Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes. En déduire un équivalent de n1 X1k k=
Exercice 3[ 02272 ][correction] Pour toutnN?, on pose
Enoncés
Sn=Xnk12etS0n=Sn+n1 k=1 Montrer que les suites(Sn)et(S0n)sont adjacentes. On peut montrer que leur limite commune estπ26, mais c’est une autre histoire...
Exercice 5[ 02274 ][correction] [Irrationalité du nombre de Néper] Soient an=nXk!1ebn=nXk1!+n1 1 tn! =an+nn! k=0k=0 a) Montrer que(an)et(bn)sont strictement monotones et adjacentes. On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que eQet pour cela on raisonne par l’absurde en supposant e=pqavecpZ qN?. b) Montrer queaq<e< bqpuis obtenir une absurdité.
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Exercice 6[ 02275 ][correction] [Moyenne arithmético-géométrique] a) Pour(a b)R+2, établir : 2ab6a+b b) On considère les suites de réels positifs(un)et(vn)définies par u0=a v0=betnN un+1=unvn vn+1=un+2vn Montrer que, pour toutn>1,un6vn,un6un+1etvn+16vn. c) Etablir que(un)et(vn)convergent vers une mme limite. Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique deaetbet est notéeM(a b). d) CalculerM(a a)etM(a0)pouraR+. e) ExprimerM(λa λb)en fonction deM(a b)pourλR+.
Exercice 4[ 02273 ][correction] [Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz] Soit(un)une suite de réels décroissante et de limite nulle. n Pour toutnN, on poseSn=P(1)kuk. k=0 Montrer que les suites extraites(S2n)et(S2n+1)sont adjacentes et en déduire que (Sn)converge.
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