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Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites monotones et bornées

3 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites monotones et bornées Exercice 5 [ 02269 ] [correction] ?Soit (H ) la suite définie pour n∈N parn Exercice 1 [ 02265 ] [correction] nX 1 Soit (u ) une suite croissante de limite ‘. On posen H =n k k=1 u +···+u1 n v =n a) Montrer que H → +∞.nn b) Soit (u ) une suite telle que n(u −u )→ 1. Montrer que u → +∞.n n+1 n n a) Montrer que (v ) est croissante.n u +vn nb) Etablir que v > .2n 2 c) En déduire que v →‘.n Exercice 6 [ 02270 ] [correction] On pose 1×3×5×···×(2n−1) u =n 2×4×6×···×(2n)Exercice 2 [ 02266 ] [correction] Soit (u ) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite v = supu . a) Exprimer u à l’aide de factoriels.n n p n p>n b) Montrer que la suite (u ) converge.n c) On pose 2v = (n+1)un n Exercice 3 [ 02267 ] [correction] Montrer que la suite (v ) converge. En déduire la limite de la suite (u )n n Soit (u ) une suite réelle bornée. On posen d) Simplifier 2nY 1 v = supu et w = inf un p n p 1− p>np>n k k=2 2Montrer que les suites (v ) et (w ) possèdent chacune une limite dansR et et comparer ce produit à u .n n n comparer celles-ci. e) En déduire que la limite C de la suite (v ) est strictement positive.n Exercice 4 [ 02268 ] [correction] [Somme harmonique] Pour tout n∈N, on pose nX 1 H =n k k=1 Montrer que 1?∀n∈N ,H −H >2n n 2 En déduire que lim H = +∞.n n→∞ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Suites monotones et bornées
Exercice 1[ 02265 ][correction] Soit(un)une suite croissante de limite`. On pose
u1+∙ ∙ ∙+un vn= n a) Montrer que(vn)est croissante. b) Etablir quev2n>un2+vn. c) En déduire quevn`.
Exercice 2[ 02266 ][correction] Soit(un)une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suitevn= supup. p>n
Exercice 3[ 02267 ][correction] Soit(un)une suite réelle bornée. On pose
vn= supupetwn=pin>fnup p>n Montrer que les suites(vn)et(wn)possèdent chacune une limite dansRet comparer celles-ci.
Exercice 4[ 02268 ][correction] [Somme harmonique] Pour toutnN, on pose
Hn=Xnk1 k=1
Montrer que nN? H2nHn>21 En déduire quelimHn= +. n→∞
Enoncés
Exercice 5[ 02269 ][correction] Soit(Hn)la suite définie pournN?par n Hn=X1k k=1
a) Montrer queHn+. b) Soit(un)une suite telle quen(un+1un)1. Montrer queun+.
Exercice 6[ 02270 ][correction] On pose un= 1×3×5× ∙ ∙ ∙ ×(2n))1 2×4×6× ∙ ∙ ∙ ×(2n a) Exprimerunà l’aide de factoriels. b) Montrer que la suite(un)converge. c) On pose vn= (n+ 1)un2 Montrer que la suite(vn)converge. En déduire la limite de la suite(un) d) Simplifier k2Y=n21k1 et comparer ce produit àu2n. e) En déduire que la limiteCde la suite(vn)est strictement positive.
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