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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Suites monotones et bornées
Exercice 1[ 02265 ][correction] Soit(un)une suite croissante de limite`. On pose
u1+∙ ∙ ∙+un vn= n a) Montrer que(vn)est croissante. b) Etablir quev2n>un2+vn. c) En déduire quevn`.
Exercice 2[ 02266 ][correction] Soit(un)une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suitevn= supup. p>n
Exercice 3[ 02267 ][correction] Soit(un)une suite réelle bornée. On pose
vn= supupetwn=pin>fnup p>n Montrer que les suites(vn)et(wn)possèdent chacune une limite dansRet comparer celles-ci.
Exercice 4[ 02268 ][correction] [Somme harmonique] Pour toutnN, on pose
Hn=Xnk1 k=1
Montrer que nN? H2nHn>21 En déduire quelimHn= +. n→∞
Enoncés
Exercice 5[ 02269 ][correction] Soit(Hn)la suite définie pournN?par n Hn=X1k k=1
a) Montrer queHn+. b) Soit(un)une suite telle quen(un+1un)1. Montrer queun+.
Exercice 6[ 02270 ][correction] On pose un= 1×3×5× ∙ ∙ ∙ ×(2n))1 2×4×6× ∙ ∙ ∙ ×(2n a) Exprimerunà l’aide de factoriels. b) Montrer que la suite(un)converge. c) On pose vn= (n+ 1)un2 Montrer que la suite(vn)converge. En déduire la limite de la suite(un) d) Simplifier k2Y=n21k1 et comparer ce produit àu2n. e) En déduire que la limiteCde la suite(vn)est strictement positive.
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