Sujet Oraux : CCP, Banque Exo 1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02576 ] [correction] Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E. Donner l’allure de la courbe définie en coordonnées polaires par c) Majorer Z 1√ −xr = 2 (cosθ− cos 2θ) xe dx 0 Préciser la tangente à cette courbe aux points de paramètre θ =π. en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Exercice 2 [ 03518 ] [correction] a) On considère deux suites réelles (u ) et (v ) telles que u ∼v .n n n n Exercice 6 [ 03522 ] [correction] Démontrer que u et v sont de même signe à partir d’un certain rang.n n SoientF(R,R) l’espace vectoriel des applications deR dansR, E le sous-espace b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de vectoriel engendré par les cinq applications : √1 1 f :x7→ 1/ 2, f :x7→ cosx, f :x7→ sinx, f :x7→ cos(2x) et f :x7→ sin(2x)u = sh − tan 1 2 3 4 5n n n et F le sous-espace vectoriel par f ,f et f :1 2 3 Exercice 3 [ 03519 ] [correction] F = Vect(f ,f ,f )1 2 3 Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle x a) Démontrer que0y + y = 2x Z π21−x 1 (f,g)7→hf|gi = f(x)g(x) dx π −π Exercice 4 [ 03520 ] [correction] est un produit scalaire sur E. Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E. b) Montrer que f et f sont unitaires et orthogonaux.4 5 a) Démontrer que On admettra dans la suite queB = (f ) est une base orthonormée de E.i i=1,...,5 ⊥ ⊥E =A⊕A c) Déterminer le sous-espace vectoriel F , orthogonal de F pour ce produit scalaire.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

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Exercice 1 [ 02576 ] [correction] Donner l’allure de la courbe définie en coordonnées polaires par

r= 2 (cosθ−cos 2θ)

Préciser la tangente à cette courbe aux points de paramètreθ=π.

Exercice 2 [ 03518 ] [correction] a) On considère deux suites réelles(u n )et(v n )telles queu n ∼v n . Démontrer queu n etv n sont de mme signe à partir d’un certain rang. b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de u n =sh  n 1  −tan  1 n 

Exercice 3 [ 03519 ] [correction] Résoudre sur]1+∞[l’équation différentielle 0 x 2 y y 1 + −x = 2x

Enoncés

Exercice 4 [ 03520 ] [correction] SoientEun espace euclidien etAun sous-espace vectoriel deE. a) Démontrer que E=A⊕A ⊥ Indice : on admettra que toute famille orthonormale deEpeut tre complétée en une base orthonormale deE. b) Démontrer que  A ⊥  ⊥ =A

Exercice 5 [ 03521 ] [correction] Soithune fonction continue et positive de[a b]dansR. a) Démontrer que : Z b x= 0⇒h= 0 h(x) d a b) SoitEleR-espace vectoriel des fonctions continue de[a b]dansR. On pose pour toutfet toutgdeE (f|g) = Z a b f(x)g(x) dx

Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire surE. c) Majorer 1 Z √ xe −x dx 0 en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

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Exercice 6 [ 03522 ] [correction] SoientF(RR)l’espace vectoriel des applications deRdansR,Ele sous-espace vectoriel engendré par les cinq applications : f 1 :x7→1 √ 2,f 2 :x7→cosx,f 3 :x7→sinx,f 4 :x7→cos(2x)etf 5 :x7→sin(2x) etFle sous-espace vectoriel parf 1  f 2 etf 3 : F=Vect(f 1  f 2  f 3 ) a) Démontrer que (f g)7→ hf|gi = 1 π Z π f(x)g(x) dx −π est un produit scalaire surE. b) Montrer quef 4 etf 5 sont unitaires et orthogonaux. mettra dans la suite queB= (f i ) i=15 est une base orthonormée deE. On ad c) Déterminer le sous-espace vectorielF ⊥ , orthogonal deFpour ce produit scalaire.

Exercice 7 [ 03523 ] [correction] N.B. : les deux questions sont indépendantes. a) La fonction lnx x7→ x 2 + 1 est-elle intégrable sur]0+∞[? b) La fonction e −x x 7→ √ x−1 est-elle intégrable sur]1+∞[?

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Exercice 8 [ 03524 ] [correction]Exercice 12 [ 03528 ] [correction] N.B. : les deux questions sont indépendantes  Soit P a n z n une série entière de rayon de convergenceR >0. a) SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deE Démontrer que cette série converge uniformément sur tout disque fermée de. a) On noteL(E)l’espace des endomorphismes deE. Démontrer que, dansL(E) centre 0 et de rayon, lartel que06r < R. famille n Id E  f     f n 2 o est liée et en déduire quefadmet un polynôme +∞ b) Démontrer que la fonctionz7→ P a n z n est continue en tout point du disque annulateur non identiquement nul. n=0 b) Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie etλ  de convergence.une ouvert valeur propre def. Démontrer que siPest un polynôme annulateur defalorsP(λ) = 0. Exercice 13 [ 03529 ] [correction] SoientEun espace euclidien etuun endomorphisme deE. On note(x|y)le produit scalaire de deux vecteursxetydeE. a E ) xe D r é cice 9 [ 03525 ] [correction] a) Soituun endomorphisme tel que montrer que siAetBsont deux matrices carrées d’ordrenalorsABetBA ont mme trace. ∀x∈Eku(x)k=kxk b En d e ) ndomor é p d h u i i s re me qu o ’ n e t n m di  m m e e n t si r o a n ce. finietouteslesmatricesd’unmme Démontrerque c) Démontrer que siAetBsont semblables alors, pour toutk∈N,A k etB k ont ∀(x y)∈E 2 (u(x)|u(y)) = (x|y) mme trace.  Démontrer queuest bijectif b) Démontrer que l’ensemble des endomorphismes orthogonaux deE, muni la loi ◦, est un groupe. Exercice 10 [ 03526 ] [correction] r t A O O n n n d o é t fi e nitdansM 2 (R)× M 2 (R)l’applicationϕ(A A 0 ) =t(A 0 ) Exercice 14 [ 03530 ] [correction] (a b)∈R 2 Pour toutn>1, on pose a O ) n D a é d m m o e n t tr q e u r e q ϕes euFseu t t unpr F sn do = uo ui  s t  acs -se − l p a a a b eri ec b a su  r  M 2 l ( d R e ). M 2  (R) I n = Z 0 +∞  1 − + 1 t 2  n dt vectorie . b) Déterminer une base orthonormée deF ⊥ . a) Justifier queI n est bien définie. c) Déterminer le projeté orthogonal surF ⊥ de b) Démontrer que la suite((−1) n I n )décroît et déterminer sa limite. c) La série P I n est-elle convergente ? J=  11 11  Exercice 15[correction]

Exercice 11 [ 03527 ] [correction] Soientθ∈Retn∈N ? Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans. C[X], puis dansR[X]le polynôme

P(X) =X 2n −2X n cos(nθ) + 1

[ 03531 ] a) SoitXune partie deR,(f n ) n∈N une suite de fonctions deXdansRouCqui converge simplement vers une fonctionf. On suppose qu’il existe une suite (x n ) n∈N d’éléments deXtelle que la suite(f n (x n )−f(x n )) n∈N ne tend pas vers 0. Démontrer que la suite de fonctions(f n ) n∈N ne converge pas uniformément versf surX. b) Pourx∈R. On pose in(nx) f n (x 1+ )= s n 2 x 2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Enoncés

Etudier la convergence simple de la suite(f n ) n∈N .Exercice 19 [ 03535 ] [correction] Etudier la convergence uniforme de la suite(f n ) n∈N sur[a+∞[(aveca >0) puis a) Soit(f n ) n∈N une suite de fonctions continues sur[a b]à valeurs réelles. sur]0+∞[ que si la suite. Démontrer(f n ) n∈N converge uniformément versfalors la suite  R a b f n (x) dx  n∈N converge vers R a b f(x) dx. Exercice 16 [ 03532 ] [correction] b) Justifier comment ce résultat peut tre utilisé dans le cas des séries de On considère la courbeC  puis démontrer fonctions définie paramétriquement par :  2 +∞+∞ x= u 2 u −1 Z 0 1 n X =0 x n dx=    u 2 + 1 ,u >0 n= X 1 1 n 1 2 n   y= u+ 1 Donner l’allure de la courbeC, préciser la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s)

Exercice 17 [ 03533 ] [correction] On considère la courbe définie en coordonnées polaires par r= 2 p cos(2θ) a) Etudier les symétries éventuelles de cette courbe. b) Donner l’allure de cette courbe. c) Préciser la tangente en point de paramètreθ=π4.

Exercice 18 [ 03534 ] [correction] Soit la matrice A=   − 1 1 1 − − 1 1 1 − 1 1 1  

1. Démontrer queAest diagonalisable de quatre manières : a) sans calculs ; b) en calculant directement le déterminantdet(A−λI 3 )oùI 3 est la matrice identité d’ordre 3 et en déterminant les sous-espaces propres ; c) en utilisant le théorème du rang ; d) en calculantA 2 . 2. On suppose queAest la matrice d’un endomorphismeud’un espace euclidien dans une base orthonormée. a) Que peut-on dire de l’endomorphismeu? b) Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice deuest diagonale.

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Exercice 20 [ 03536 ] [correction] SoitEl’ensemble des matrices deM 2 (R)de la forme M(a b) =  −a ab b  oùaetbsont des nombres réels a) Démontrer queEest un sous-espace vectoriel et un sous anneau deM 2 (R). Quelle est sa dimension ? b) On poseϕ(a+ib) =M(a b). Démontrer queϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels deCsurE,Cétant considéré comme un espace vectoriel de dimension 2 surR. Est-ce un isomorphisme d’anneaux ?

Exercice 21 [ 03537 ] [correction] a) Soient(u n )et(v n )deux suites de nombres réels positifs. Montrez que : u n ∼v n ⇒ X u n et X v n sont de mme nature b) Etudiez la convergence de la série X (1− √ i n ) si − n 1  1 n 

Exercice 22 [ 03538 ] [correction] Dans un repère orthonormé(O;ji ~ ), on considère la courbe d’équation x 2 + 2x+ 4y 2 −8y+ 1 = 0

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a) Préciser la nature de cette courbe. b) Tracer cette courbe. c) Calculer la pente de la tangente en chacun des points d’intersection de la courbe et de l’axe(O; ~ j).

Exercice 23 [ 03539 ] [correction] Etudier au voisinage det= 1la courbe définie par : x= Z 1 t u u 2 2 −1 d 1+ uety= Z 1 t u u 2 3 −1 1 d + u Indice : on pourra calculer les dérivées successives dexety

Exercice 24 [ 03540 ] [correction] On considère la matrice A=   − − 2 1 2 − −2 1 2 − − 1 2 2   a) Justifier queAest diagonalisable. b) DéterminerPetDdansM 3 (R)telles que t P=P −1 ,Dest diagonale et t P AP=D .

Exercice 25 [ 03541 ] [correction] Etudier la série de terme général

1 u n = n(lnn) α

oùn>2etα∈R. Indice : on distinguera le casα60et le casα >0.

Enoncés

Exercice 26 [ 03542 ] [correction] a) Démontrer que dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolument convergente est convergente. b)M n (R) ?est-il complet

Exercice 27 [ 03543 ] [correction] SoientEl’espace vectoriel des polynômes à coefficients dansK(K=RouC) de degrés inférieurs ou égaux ànetfl’endomorphisme deEdéfini par f(P) =P−P 0

a) Démontrer quefest bijectif de deux manières : - sans utiliser de matrice def; - en utilisant une matrice def. b) SoitQ∈E. TrouverPtel quef(P) =Q. Indice : siP∈E, quel est le polynômeP (n+1) ?

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Exercice 28 [ 03544 ] [correction] SoientEun espace vectoriel surRouCetf,gdeux endomorphismes deEtels que

f◦g=Id

a) Démontrer queker(g◦f) = kerf. b) Démontrer que Im(g◦f) =Img. c) Démontrer queE= kerf⊕Img.

Exercice 29 [ 03545 ] [correction] a) Donner l’idée de la démonstration de la formule de Leibniz concernant la dérivéen-ième d’un produit de fonctions. b) On pose f(x e ) 1 2 + x x pourx =>−1 Calculerf (n) (x)pour toutn∈N.

Exercice 30 [ 03546 ] [correction] Soit la matrice 0a c M=   b b− 0 a0 c   oùa b csont des réels. a)Mest-elle diagonalisable dansM 3 (R)? b)Mest-elle diagonalisable dansM 3 (C)?

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Exercice 31 [ 03547 ] [correction] Soit la matriceA=  24 12  etfl’endomorphisme deM 2 (R)défini par f(M) =AM

a) Déterminerkerf. b)fest-il surjectif ? c) Trouver une base dekerfet une base de Imf

Enoncés

Exercice 32 [ 03548 ] [correction] Soient(u n ) n∈N une suite de réels strictement positifs et`un réel positif strictement inférieur à 1. a) Démontrer que si li u n+1 =` m n→+∞ u n alors la série P u n converge. rire dicieusement la définition delim u n+1 =`puis majorer, pourn Indice : éc ju n→+∞ u n assez grand,u n par le terme général d’une série géométrique. b) Quelle est la nature de la série de terme général n ! ? (3n+ 1)

Exercice 33 [ 03573 ] [correction] Résoudre surRl’équation différentielle y 00 +y= cosx

en utilisant la méthode de variation des constantes.

Exercice 34 [ 03562 ] [correction] Etudier la courbe définie paramétriquement par u−1    u x 2 = u 2   y= u+ 1

Puis donner l’allure de cette courbe

Exercice 35 [ 03558 ] [correction] Soit l’intégrale curviligne I= Z Γ ω oùω=ydx+xydyetΓest la courbe fermée composée des portions de courbes comprises entre les deux points d’intersection des courbesC 1 etC 2 d’équations respectivesy=x 2 ety=xdans un repère orthonormé. La courbeΓétant décrite dans le sens trigonométrique, calculer l’intégraleI: a) directement. b) en utilisant la formule de Green-Riemann.

Exercice 36 [ 03550 ] [correction] On considère la matrice 1 A=   00 20 1 a 0 a  

oùaest un nombre réel. a) Quel est le rang deA? La matriceA ?est-elle inversible b)A ?est-elle diagonalisable

Exercice 37 [ 03552 ] [correction] Soitfla fonction2π-périodique surRdéfinie ainsi :

f(x) =xsur]−π π[etf(−π) = 0

a) La série de Fourier defconverge-t-elle versf(x)en toutxdeR? b) Déterminer la série de Fourier def.

Exercice 38 [ 03557 ] [correction] On considère la fraction rationnelle

X 5 +X 4 R= (X−2) 2 (X+ 1) 2 a) DécomposerRen éléments simples. b) Déterminer les primitives de la fonctionx7→R(x)sur l’intervalle]−12[.

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Exercice 39 [ 03553 ] [correction] Soitfla fonction2π-périodique surRtelle que

∀t∈[02π[ f(t) =t 2 a) Expliquer pourquoi, pour tout réelt, la série de Fourier defconverge et préciser sa limite. b) Déterminer la série de Fourier def, puis en déduire la somme de la série 1 X n 2 n>1

Exercice 40 [ 03554 ] [correction] On pose f(x y) = p x 2 xy +y 2 pour(x y)6= (00)etf(00) = 0 a) Démontrer quefest continue surR 2 . b) Démontrer quefadmet des dérivées partielles en tout point deR 2 .

Exercice 41 [ 03555 ] [correction] SoitΦl’endomorphisme deR n [X]défini par : P(X)7→P(X)−P(X−1)

Donner la matrice deΦdans la base canonique deR n [X]et en déduire ImΦet ker Φ.

Exercice 42 [ 03556 ] [correction] a) Démontrer que toute série de fonctions normalement convergente surXest uniformément convergente surX. b) La série de fonctions X n 2 n! z n est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre 0 et de rayon R∈R +? ?

Enoncés

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Exercice 43 [ 03559 ] [correction] Soit(a n ) n∈N une suite complexe telle que la suite  |a |a n n+ | 1 |  n∈N admet une limite finie. a) Démontrer que les séries entières P a n x n et P na n x n−1 ont le mme rayon de convergence. On le noteR. +∞ b) Démontrer que la fonctionx7→ P a n x n est dérivable sur l’intervalle]−R R[. n=0

Exercice 44 [ 03560 ] [correction] a) Démontrer que la fonctionx7→e −x 2 est intégrable sur[0+∞[ b) Pour chaque nombrer >0, on noteC r le carré[0 r]×[0 r]etD r l’ensemble défini par : x>0,y>0,x 2 +y 2 6r 2 b) Quelle relation y a-t-il entre Z Z C r e −(x Z t r 2 dt? 2 +y 2 ) dxdyete − 0 c) Calculer en fonction derl’intégrale double Z Z D r e −(x 2 +y 2 ) dxdy d) Déduire de ce qui précède la valeur de Z 0 +∞ e −x 2 dx

Indice : on pourra remarquer queD r ⊂C r ⊂D √ 2r

Exercice 45 [ 03561 ] [correction] a) Démontrer que si|a n | ∼ |b n |alors les séries entières P a n z n et P b n z n ont le mme rayon de convergence. b) Trouver le rayon de convergence de la série entière

X i n n 2 ( 2 + z n n1)

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Exercice 46 [ 03563 ] [correction]Exercice 50 [ 03567 ] [correction] a)uest un endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finienetISoitEun espace normé complet et soitAun sous-ensemble deE. désigne l’application identité deE. a) Démontrer que Rappeler la définition d’une valeur propre de puis démontrer que : Acomplet⇔Afermé

λest valeur propre deu⇔det(u−λI) = 0 En déduire queuadmet au plusnvaleurs propres distinctes. b) Trouver un endomorphisme deR 2 admettant comme valeurs propres 0 et 1.

Exercice 47 [ 03564 ] [correction] EetFdésignent deux espaces vectoriels normés. a) Soientfune application deEdansFetaun point deE. Démontrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i)fest continue ena; (ii) Pour toute suite(x n )d’éléments deEtelle que n l → i + m ∞ x n =a, on a limf(x n→+∞ n ) =f(a). b) SoitApartie dense d’un espace vectoriel norméune Eet soientfetgdeux applications continues deEdansF,Fdésignant un espace vectoriel normé. Démontrer que si, pour toutx∈A,f(x) =g(x)alorsf=g.

Exercice 48 [ 03565 ] [correction] a) SoitAune partie non vide d’un espace vectoriel norméE. Démontrer que ¯ E N N x n ∈Aetlimx n =x x∈A⇔ ∃(x n ) n∈N ∈∀n∈ n→+∞ ¯ b) Démontrer que siAest un sous-espace vectoriel deEalorsAest un sous-espace vectoriel deE.

Exercice 49 [ 03566 ] [correction] EetFdésignent deux espaces vectoriels normés. a)Aest un sous-ensemble compact deEetfune fonction deEdansF. Démontrer que sifest continue surAalorsf(A)est un sous-ensemble compact deF. b) On suppose quegest une fonction continue deEdansC. Démontrer que siAest un sous-ensemble compact non vide deEalors -g(A)est une partie bornée deC; - il existex 0 ∈Atel que sup|g(x)|=|g(x 0 )| x∈A

b) Pour chacun des sous-ensembles suivants deR, dire s’il est complet ou non en justifiant votre réponse : -]01]; -[−22]∪[3+∞[; -]01[∪]−∞2]

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Exercice 51 [ 03568 ] [correction] SoientE Fdeux espaces vectoriels normés sur le corpsR. a) Démontrer que sifest une application linéaire deEdansFalors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes : (i)fest continue surE; (ii)fest continue en0 E ; (iii)∃k >0∀x∈Ekf(x)k6kkxk. b) SoitEl’espace vectoriel des applications continues de[01]muni de la norme définie par : kfk= sup|f(x)| x∈[01] On considère l’applicationϕdeEdansRdéfinie par 1 ϕ(f) = Z 0 f(t) dt Démontrer queϕest linéaire et continue.

Exercice 52 [ 03569 ] [correction] On noteEl’espace vectoriel des applications continues de[01]dansR. On pose pour toutfdeE 1 p ∞ (f) = x s ∈[ u 0 p 1] |f(x)|etp 1 (f) = Z 0 |f(x)|dx

a) Démontrer succinctement quep ∞ etp 1 sont deux normes deE. b) Démontrer qu’il existek >0tel que pour toutfdeE,p 1 (f)6kp ∞ (f). c) Démontrer que tout ouvert pour la normep 1 est un ouvert pour la normep ∞ . d) Démontrer que les normesp 1 etp ∞ ne sont pas équivalentes.

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Exercice 53 [ 03570 ] [correction]b) Démontrer que pour toutudeA, la série P u n n ! converge. On noteR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout n polynômeP= i= P 0 a i X i ,ndésignant le degré deP, on pose : Exercice 56 [ 03574 ] [correction] a) Etudier les extrema de la fonction définie par : n p 1 (P) = X |a i |etp 2 (P) = 06 m i a 6 x n |a i | f(x y) = p 4−x 2 −y 2 i=0 a) Démontrer succinctement quep 1 et t des normes deR[X] la méthode générale de recherche d’extrema d’une fonction de deux. en utilisant b) Démontrer que tout ouvert pour la n p 2 son mroep 2 est un la ep 1 . variables. c) Démontrer que les normesp 1 v t ee ep c 2 l t e n e o d sen otirR pa [ s X é ] rtpoouvenormur bR)teor aviuq emquriétomgéeruvérptatlus t é n r e e l lt . n s e e dic nt. I c t é i d t e u afecsaruseltleel d) On noteR k [X]  d’équation : qu le sous-espac cons é par les polynômes de  n ez= p 4−x 2 −y 2 ?

degré inférieur ou égal àk. On notep 0 1 la restriction dep 1 àR k [X]etp 0 2 la restriction dep 2 àR k [X]. Les normesp 0 1 etp 0 2 sont-elles équivalentes ?

Exercice 54 [ 03571 ] [correction] On note` 2 l’ensemble des suitesx= (x n )de nombres complexes telles que la série P |x n | 2 converge. a) Démontrer que` 2 est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites de nombres complexes. b) Démontrer que pourx= (x n )∈` 2 ety= (y n )∈` 2 , la série P x n y n converge. ¯ On pose +∞ x|y= X x n y n ¯ n=0 c) Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire dans` 2 . d) On suppose que` 2 est muni de ce produit scalaire et de la norme associée. Soitn∈N. Pour toutx= (x n )∈` 2 , on poseϕ(x) =x n . Démontrer queϕest une application linéaire continue de` 2 dansCet calculer kϕkoùkϕkdésigne la norme usuelle dans l’espace vectoriel des applications linéaires continues de` 2 dansC.

Exercice 55 [ 03572 ] [correction] SoitAune algèbre normée de dimension finie ayantepour élément unité. a) Soituun élément deAtel quekuk<1. Démontrer que la série P u n est convergente. Démontrer que(e−u)est inversible et que

+∞ (e u) −1 X u n −= n=0

Exercice 57 [ 03575 ] [correction] Déterminer le développement en série entière à l’origine de la fonction +x f(x) = ln  1 1 −x  en précisant le rayon de convergence.

Exercice 58 [ 03579 ] [correction] SoientXun ensemble,(f n ) n∈N une suite de fonctions deXdansCetfune fonction deXdansC. a) On suppose que

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∀x∈X∀n∈N|f n (x)−f(x)|6α n où(α n ) n∈N est une suite de réels telle quelim + α n = 0. n→ ∞ Démontrer que la suite(f n ) n∈N converge uniformément versfsurX. b) La suite(z n ) n∈N converge-t-elle uniformément dans le disque ouvertD(012) de centre 0 et de rayon12? Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvertD(01)de centre 0 et de rayon 1 ?

Exercice 59 [ 03580 ] [correction] Soit(u n ) n∈N une suite décroissante positive de limite nulle. a) Démontrer que la série P (−1) k u k est convergente. n Indice : on pourra considérer(S 2n ) n∈N et(S 2n+1 ) n∈N avecS n = P (−1) k u k . k=0 b) Indiquer un majorant du reste de cette série. Démontrez ce résultat.

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