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UNSA DEA “Algebre categorielle” decembre Duree heures Les notes du cours sont autorisees

4 pages
UNSA 2003/2004, DEA “Algebre categorielle”, 18 decembre 2003. Duree : 3 heures. Les notes du cours sont autorisees Une redaction claire et precise sera appreciee. 1) Generateurs stricts. On considere une categorie C ayant des produits fibres et des coproduits indexes par des ensembles. Un foncteur F : C ? Ens est dit conservatif si un morphisme f de C est un isomorphisme des que Ff est bijectif. Un objet G de C est un generateur strict si C(G,?) : C ? Ens est conservatif. Un epimorphisme f est extremal si dans toute factorisation f = mf ? tel que m est un monomorphisme, m est en fait un isomorphisme. 1.a. Montrer que tout epimorphisme extremal est strict. Indication: si qf = mg avec f extremal et m mono, former le produit fibre de q et m. 1.b. Montrer que tout foncteur conservatif qui preserve les egalisateurs est un foncteur fidele. En deduire qu'un generateur strict est un generateur. 1.c. Montrer que pour un generateur strict G et un objet C de C, le morphisme canonique ?C : ? C(G,C) G ? C est un epimorphisme strict. On rappelle que ?C est defini par la propriete ?Ci? = ? pour la composante i? : G ? ? C(G,C) G correspondant a ? : G ? C.

  • structure de categorie additive

  • carre

  • morphisme canonique

  • a?a ?

  • categorie

  • conoyau du morphisme z

  • proprietes de transitivite des carres cocartesiens


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MAT432:ContrˆoleClassant du 13 Novembre 2003 Unecopieou`undesproble`mesouexercicesesttraite´ a`fondauraunemeilleurenotequunecopiequinetraite quelesquestionslesplusfacilesdechaqueprobl`emeou exercice.Lesr´efe´rencesaucourssontadmises,maisde-vrontˆetrepr´ecises
Exercice I :vnocegreeecnlactMtronlaereculerlint´egral suivante : Z +log(x) I =dx. 4 (1 +x) 0
2 2 Exercice II :etonnO´eseΓlerauZdeRetfune 2 fonction deLe)vrn´.Onsiolidunseltato(cevaceirstno Γ d´eveloppementdeFouriersouslaforme: X 2(mx+ny) f(x, y) =amne . 2 (m,n)Z P 1 1)Montrerquelas´erie22 2converge. (m,n)6=(0,0) (m+n) P 2 22 2 2)End´eduireque,si2(m+n)|amn|<+, (m,n)Z alorsfest continue (indication :on adaptera une preuve faite en cours dans le cas unidimensionnel).
Exercice III :ocnOetrura´eoplre`eidnsAnsirude´ 2 L(R) par : 2 fL(R), A(f) =af 1 ou`asefaltn´epariectonndioa(x) =2. 1+x 1) Montrer queAa-jduaot.iotnteur´erainuecontponutse 1