1Universite Pierre et Marie Curie Paris

Marie Curie

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
1Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6 Master de Mathematiques M1 2010-2011 Modeles stochastiques et Applications a la finance Philippe Bougerol 30-03-2011

• preuve de la proposition


• cadre markovien


• portefeuille de couverture


• theorie du portefeuille de markowitz


• controle aleatoire


• modele stock-bond


• livres specifiquement sur les aspects financiers


• systeme dynamique


• modeles stochastiques


• arret optimal

Sujets

• Otto M. Nikodym
• Système dynamique

Informations

• Publié par: profil-thowyeng-2012
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

1
Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6
Master de Mathematiques M1 2010-2011
Modeles stochastiques
et Applications a la finance
Philippe Bougerol
30-03-20112Table des matieres
1 Introduction 7
1.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Un peu de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 En Francais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Deux gros livres speci quement sur les aspects nanciers. . . . 9
1.2.3 Deux livres en anglais, parmi d’autres . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Les articles de Wikipedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I Modeles a temps discret 11
2 Introduction a l’evaluation en nance, Vocabulaire et produits 13
2.1 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Les metiers de la nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 La valeur du temps: Taux d’inter^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Economiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Mathematiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Quelques taux utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Actifs nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Actifs de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Marche a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Marches derives: Produits optionnels . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Utilite versus AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Le modele d’evaluation de base le plus simple . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.1 Interpretation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.2 Univers risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 TABLE DES MATIERES
3 Rappels et complements d’analyse et de probabilite 23
3.1 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Mesurabilite et variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3 Independance et esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Theoreme de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Un theoreme de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Calcul stochastique a temps discret 31
4.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 L’integrale stochastique discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Un theoreme de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Contr^ ole stochastique a horizon ni 39
5.1 Systemes dynamiques a temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Systeme dynamique contr^ ole deterministe . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 Systeme aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.3 Systeme dynamique contr^ ole aleatoire . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.4 Strategies markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Premiers Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 Cas deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.2 Remarque fondamentale sur la complexite . . . . . . . . . . . . 47
5.3.3 Remplacement de machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.5 Une solution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Arr^et optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.2 Enveloppe de Snell d’une suite adaptee . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.3 Cadre markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.4 Approche du cas Markovien par l’enveloppe de Snell . . . . . . 53
5.4.5che du cas markovien par la programmation dynamique . 53
5.4.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Marches a temps discret, AOA, completude 59
6.1 Modele Stock-Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Portefeuille du marche (S;B) et auto nancement . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1 Portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2 Auto nancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.3 Changement de numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TABLE DES MATIERES 5
6.3 AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.1 Lemme sur la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.2 Preuve du theoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Evaluation d’un actif replicable dans un marche viable . . . . . . . . . 66
6.5 Marche complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5.1 Complet => Unicite deP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5.2 Unicite deP => Propriete de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 68
6.5.3 Propriete de Bernoulli => Representation previsible . . . . . . 68
6.5.4 Representation previsible => Complet . . . . . . . . . . . . . . 69
6.6 Modele binomial de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6.1 Le modele d’arbre recombinant de CRR . . . . . . . . . . . . . 70
6.6.2 La mesure martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6.3 Representation previsible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6.4 Prix d’options, Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . 72
6.7 Appendice: Preuve de la proposition 6.5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Theorie du Portefeuille de Markowitz 77
7.1 La notion d’Utilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Theorie du portefeuille de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.1 Cas sans taux xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3.2 Frontiere de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.3 Approche par l’utilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3.4 Avec un actif sans risque, a taux xe . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 Contr^ ole et ltrage lineaire optimal 87
8.1 Le cadre du contr^ ole lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Matrices symetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.4 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4.1 Coe cients dependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4.2 Correction de trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.5 Le probl^eme du ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.5.1 Gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.6 Le Filtre de Kalman Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6.1 Le Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6.2 Decomposition a l’aide de l’innovation . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6.3 Calcul de la matrice de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.6.4 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.6.5 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.7 Certainty Equivalence, Contr^ ole avec information imparfaite, Hors pro-
gramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 TABLE DES MATIERES
II Modeles a temps continu 101
9 Calcul stochastique a temps continu, par rapport au brownien 103
9.1 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.1 Famille gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.2 De nition du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.4 Martingales et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2 Integrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.3 Processus arrete, martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.4 Formule d’Ito pour le Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.5 Generalisation unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.6 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .