A MATH I MP

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2006 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• sup x?c


• existence de x0 ?


• module du complexe z


• disposition des concours


• ?1 ≤


• matrices stochastiques


• filière mp

Sujets

• École polytechnique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

A 2006MATH. IMP

ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2006

PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES I - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

PourK=RouC, on noteM n,l (K)l’ensemble des matrices Ànlignes etlcolonnes À coefficients dansK. Un lment deM n,l (R)sera considr comme lment deM n,l (C). Dans la suite, on identifie les matrices carres (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respective- n ment les vecteurs) canoniquement associs dansC: par exemple, on note n par la mme lettre une matriceTdeM n,n (R)et l’endomorphisme deC n dontTest la matrice dans la base canonique deC. l SiM∈ M n, l (K)etx∈K,(M x) i dsigne lai-ime composante du n vecteurM x∈K. On noteI n la matrice identit deM n,n (C). Pourx= n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈K, on note n X kM xk 1 kxk 1 =|x i |etkMk 1 = sup, x∈K\{0} kxk 1 n i=1 pourM∈ M n,n (K), la norme matricielle subordonne. DÉfinition 1On dit qu’une matriceM∈ M n,l (R),de coefficients notÉs (m ij ,1≤i≤n,1≤j≤l), est positive (respectivement strictement po- sitive), ce que l’on noteM≥0(respectivementM >0), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs): m ij ≥0( resp.m ij >0) pour tout(i, j)∈ {1,∙ ∙ ∙, n} × {1,∙ ∙ ∙, l}. Pour deux matricesMetNdeM n,l (R),M≥N(respectivementM >N) lorsqueM−N≥0(respectivementM−N >0). Une matriceM∈ M n,n (R)de coefficients notÉs(m ij ,1≤i, j≤n)est dite stochastique lorsqu’elle est positive et que de plus n X m ij = 1,pour toutj∈ {1,∙ ∙ ∙, n}. i=1 + On dfinit les ensemblesB,BetΣpar : n B={x∈R/ x≥0etx6= 0}, +n B={x∈R>/ x0}, n Σ ={x∈R/kxk 1 = 1}. Nous souhaitons montrer le rsultat suivant: ThÉorÈme 1 (Perron-Frobenius)SoitT∈ M n,n (R)stochastique telle n−1 que(I n +T)>0. Il existe un vecteur strictement positifx 0 satisfaisant T x 0 =x 0 . Toutes les valeurs propres deTsont de module infÉrieur À1et pour tout vecteurydeΣ∩B, k−1 X 1x 0 j limT y=. k→+∞ kkx 0 k 1 j=0

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Les deux parties sont dans une large mesure indÉpendantes.

I Unvecteur propre strictement positif On suppose queTest un ÉlÉment positif deM n,n (R)tel que n−1 P= (I n +T)est strictement positive. + 1) Montrerque pour toutx∈B, l’ensembleΓ x ={θ∈R/ θx≤T x}est non vide, ferm et born.

On noteθ(x)son plus grand lment.

2) Montrerque pour toutx∈B, on peut calculerθ(x)de la manire sui- vante :   (T x) i θ(x1) = min≤i≤netx i 6= 0. x i

+ On noteθl’application deBdansRqui Àxassocieθ(x).

3) Montrerque pour toutα >0et toutx∈B,θ(αx) =θ(x).

+ 4) MontrerqueP(B)⊂B.

5) Montrerque pour toutx∈B,θ(P x)≥θ(x)etθ(P x)>0.

6) Soitx∈Bun vecteur propre deT. Montrer queθ(P x) =θ(x).

7) Soitx∈Btel queθ(P x) =θ(x), montrer quexest un vecteur propre deTpour la valeur propreθ(x).

8) SoitC=B∩Σ. Montrer que l’applicationθest continue deP(C)dans R.

9) Justifierl’existence dex 0 ∈P(C)tel queθ(x 0 sup) =θ(x). x∈P(C)

10) Montrerquesupθ(x)≥supθ(x). x∈P(C) x∈C 11) Montrerquesupθ(x) = supθ(x). x∈B x∈C 3

12) Montrerquesupθ(xsup) =θ(x)et queθ(x 0 ) = supθ(x). x∈C x ∈P(C) x∈C On poseθ 0 =θ(x 0 ). 13) Montrerquex 0 est un vecteur propre, strictement positif, deTpour la valeur propreθ 0 et queθ 0 >0.

II UnemÉthode d’approximation n−1 On suppose maintenant queTest stochastique et telle queP= (I n +T) est strictement positive.

n+ Pour un vecteurx= (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )deC, on notexle vecteur(|x 1 |,∙ ∙ ∙,|x n |), oÙ|z|est le module du complexez. Pour tout entierk≥1, on pose k−1 X 1 j R k =T . k j=0 n 14) Soitθ∈Cetx∈Cun vecteur propre deTpour la valeur propreθ. + + Montrer que|θ|x≤T x. 15) Endduire que|θ| ≤θ 0 .

+ + 16) Montrerque|θ| kxk 1 ≤ kxk 1 et en dduire que|θ| ≤1.

17) Endduireθ 0 = 1. j 18) Montrerque pour toutj≥1,TetR j sont des matrices stochastiques. 19) tablir,pour toutk≥1, les ingalits suivantes: k kTk 1 ≤1etkR k k 1 ≤1.

2 20) Montrerque pour toutk≥1,kT R k −R k k 1 ≤. k n 21) Soitx∈C, montrer que la suite(R k x, k≥1)a au moins une valeur d’adhrence.

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22) Soityune valeur d’adhrence de la suite(R k x, k≥1), montrer que T y=yet que pour toutk≥1,R k y=y.

23) Soityetzdeux valeurs d’adhrence de(R k x, k≥1), montrer pour tous les entiersmetl, l’identit suivante:

y−z=R l (R m x−z)−R m (R l x−y).

24) Montrerque la suite(R k x, k≥1)a exactement une valeur d’adhrence.

25) Montrerqu’il existe une matriceRtelle queRx= limR k xpour tout k→+∞ n x∈CetlimkR k −Rk 1 = 0. k→+∞

26) MontrerqueTetRcommutent.

2 27) MontrerqueRT=RetR=R.

28) CaractriserRen fonction deKer(T−I n )etIm(T−I n ).

29) Onadmet queKer(T−I n )est de dimension1. Pourx∈B, expliciter Rxen fonction dekxk 1 ,kx 0 k 1 etx 0 .

FIN DU PROBLME

Ce thÉorÈme possÈde d’innombrables applications. L’une des derniÈres est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectuÉ par le plus connu des moteurs de recherche.

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