A MATH I PSI

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2007 MATH. I PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• pseudo inverse


• mines de nancy


• disposition des concours


• méthode de calcul de x∞


• endomorphisme de rn


• matrices stochastiques


• filière mp


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace


• matrice dans la base canonique de rn

Sujets

• École polytechnique
• Generalized inverse
• École nationale supérieure des mines de Nancy

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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Extrait

A 2007 MATH. I PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2007
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la
copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI.
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il est amené à prendre.Pseudo-inverse et matrice stochastique
PourK =R ouC, on noteM (K) l’ensemble des matrices àn lignes etmn,m
colonnes à coefficients dansK. Pour toute matriceM ∈M (R), on appellen,n
nendomorphisme canoniquement associé à M, l’endomorphisme de R , noté
nm, dont M est la matrice dans la base canonique deR .
Si M ∈M (K), M(i,j) représente le coefficient en ligne i et colonnen,m
j de la matrice M. On note I la matrice identité de M (R). La matricen n,n
(colonne) deM (R) dont tous les coefficients valent 1 est notée J . Pourn,1 n
M ∈M (K), on considère la normen,r
rX
kMk = max |M(i,j)|.
1≤i≤n
j=1
Définition 1 On dit qu’une matrice M ∈M (R) est positive (respective-n,m
ment strictement positive), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respec-
tivement positifs).
Une matrice positive M ∈M (R) est dite stochastique lorsque MJ =n,m m
J .n
On désigne par K ⊂ M (R) l’ensemble des matrices lignes stochas-n 1,n
tiques.
On admet le théorème suivant:
Théorème 1 (CCMP 2006, filière MP) SoitP une matrice stochastique
strictement positive de M (R). Le réel 1 est valeur propre simple de P etn,n
il existe un unique élément deK , noté X , tel quen ∞
X =X P.∞ ∞
De plus, quel que soit X∈K ,n
k−1X1 jX = lim XP .∞
k→+∞k
j=0
L’objectif de ce problème est de trouver une méthode de calcul de X en∞
utilisant la notion de pseudo-inverse.
0Définition 2 Soit A∈M (R), une matrice A ∈M (R) est un pseudo-n,n n,n
inverse de A lorsque les trois propriétés suivantes sont satisfaites:
0 0AA =AA (1)
0A =AAA (2)
0 0 0A =AAA. (3)
2Dorénavant, P est une matrice stochastique, strictement positive, de
M (R).n,n
I Préliminaires
1 - MontrerquekMNk≤kMkkNkpourtouteslesmatricesM ∈M (K)n,r
et N ∈M (K).r,m
2 - Montrer quekPk = 1.
k3 - Montrer que pour tout k≥ 1, P est une matrice stochastique.
II Pseudo-inverse
nSoit A une matrice deM (R) et a l’endomorphisme deR canonique-n,n
ment associé.
4 - Montrer que l’existence d’un pseudo-inverse implique que
2rang(a) = rang(a ).
2Inversement, on suppose maintenant que rang(a) = rang(a ). On note r cet
entier.
5 - Montrer que le noyau et l’image de a sont en somme directe:
nR = Im(a)⊕Ker(a).
6 - Montrer qu’il existe B ∈M (R), B inversible et W ∈M (R), Wr,r n,n
inversible, telles que

B 0 −1A =W W .
0 0
7 - Montrer que A admet au moins un pseudo-inverse.
0 0Considérons un pseudo-inverse quelconque A de A et a l’endomorphisme
0canoniquement associé à A.
3
hhhhhhh08 - Montrer que Ker(a) et Im(a) sont stables para et montrer qu’il existe
D∈M (R) telle quer,r

D 00 −1A =W W .
0 0
09 - Montrerqueaa estunprojecteurdontonpréciseralenoyauetl’image
−1 0en fonction de ceux de a et préciser ce que vaut W (AA)W.
10 - Montrer que A admet au plus un pseudo-inverse.
III Calcul de X∞
n nÀ tout endomorphisme u de R , on associe l’endomorphisme u de Cc
défini par
u (x+iy) =u(x)+iu(y),c
npour tout x,y appartenant à R . Dans les questions suivantes, on note a
n nl’endomorphisme de R dont la matrice dans la base canonique de R est
A = I −P.n
211 - Montrer que a ◦a = (a ) .c c c
12 - Montrer que
n 2 na (C ) =a (C ).c c
213 - Montrer que rang(a) = rang(a ) =n−1.
0On note A, le pseudo-inverse de A dont l’existence et l’unicité sont ga-
ranties par ce qui précède.
14 - Soit C ∈ M (R) inversible. Établir, pour tout entier non nul k,n,n
l’identité
k−1X
j k −1(I −C) = (I −(I −C) )C .n n n
j=0
15 - Établir, pour tout entier non nul k, l’identité suivante:
k−1X
j k 0 0P = (I −P )A +k(I −AA).n n
j=0
4
hhhhhhhh16 - Montrer que
k−1X1 jlim P
k→+∞k
j=0
existe et donner sa valeur.
0 017 - Montrer que (I −AA) est stochastique et que (I −AA)A = 0.n n
018 - Montrer que I −AA =J X .n n ∞
FIN DU PROBLÈME
5
hhh