A MATH II MP

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2007 MATH. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2007 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• up ?


• algèbre de lie


• vecteur de cn


• espace vectoriel des matrices


• composantes dans la base canonique de cn


• matrice colonne


• triangulaire supérieure


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• Algèbre de Lie
• Vecteur colonne

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

A 2007 MATH. II MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la
copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il est amené à prendre.Algèbres de Lie
Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1. On noteM (C)n,p
l’espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients com-
plexes.
On identifiera une matrice colonne X (un élément de M (C)) et len,1
n nvecteur de C dont les composantes dans la base canonique de C sont les
coefficients de la matrice X. Pour M ∈ M (C), on note M l’endomor-n,n
n nphisme canoniquement associé de C : M est l’endomorphisme de C dont
nM est la matrice dans la base canonique de C . Par ailleurs, E (M) estλ
l’espace propre associé à la valeur propre λ de l’endomorphisme M.
Pour une matrice M ∈ M (C) de coefficients (m ,i,j = 1,··· ,n) etn,n ij
pour k = 0,··· ,n− 1, on appelle k-ième diagonale supérieure de M, notée
D (M), l’ensemble des coefficients (m ,i = 1,··· ,n−k). Une diagonalek i,i+k
supérieure D (M) est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls.k
nSiV etW sont deux espaces supplémentaires deC , on notep la projec-V
tion sur V parallèlement à W : pour x =x +x avec x ∈V et x ∈W,V W V W
np (x) = x . Pour un endomorphisme u de C , on note u sa restriction àV V V
V.
nDe sorte que si i représente l’injection de V dansC , u (y) =u(i (y))V V V
pour tout y∈V.
2I Algèbres de Lie
On appelle crochet de Lie de deux éléments X et Y de M (C) la ma-n,n
trice, notée [X,Y], définie par
[X,Y] =XY −YX.
Définition 1 SoitU un sous-espace vectoriel deM (C). On note [U] l’es-n,n
pace vectoriel engendré par les crochets de Lie [X,Y] lorsqueX etY décrivent
U. On dit que U est une algèbre de Lie lorsque
[U]⊂U.
SoitU etV deux algèbres de Lie qui vérifient
[U]⊂V ⊂U.
On souhaite prouver le théorème suivant.
Théorème 1 Si X ∈M (C) est une colonne propre pour toute matrice Mn,1
dansV et siA est une matrice dansU alorsAX est soit la matrice colonne nulle,
soit une matrice colonne propre pour toute matrice M dansV. De plus, si pour
M ∈V, MX =λX alors M(AX) =λ(AX).
Soit X ∈M (C) une matrice colonne propre pour toute matrice M dansn,1
V, et soit A une matrice deU.
1 - Établir l’existence d’une forme linéaireλ surV, à valeurs dansC, telle
que pour tout M ∈V, MX =λ(M)X.
2 - Montrer que pour tout M ∈V, [M,A] appartient àV.
On considère la suite de matrices colonnes (X ,k≥ 0) définie park
X =X, X =AX , pour tout k≥ 0.0 k+1 k
Pour M ∈ V, on considère la suite de nombres complexes (λ (M),k ≥ 0)k
définie par
λ (M) =λ(M)0
λ (M) =λ ([M,A]), pour tout k≥ 0.k+1 k
3
hh3 - Démontrer, pour tout entier i ≥ 0 et pour tout M ∈ V, les identités
suivantes:
iX
j
MX = C λ (M)X (1)i i−j ji
j=0
iX
j
[M,A]X = C λ (M)X . (2)i i−j+1 ji
j=0
n4 - On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs deC . Démon-
trer qu’il existe un plus grand entier q tel que la famille de vecteurs
{X ,X ,X ,··· ,X } soit libre.0 1 2 q
On note G l’espace vectoriel engendré par la famille{X ,X ,X ,··· ,X }.0 1 2 q
5 - Montrer que M , A et [M,A] sont des endomorphismes de G.G G G
6 - Calculer la trace de [M,A] .
G
7 - Quelle est la matrice de [M,A] dans la base{X ,X ,X ,··· ,X }?0 1 2 qG
8 - Pour M ∈V, que vaut λ([M,A])?
9 - Établir le théorème 1.
II Algèbres de Lie résolubles
Définition 2 Soit U une algèbre de Lie et p un entier naturel non nul. On
dit que U est une algèbre de Lie résoluble de longueur p lorsqu’il existe des
algèbres de Lie U , U ,··· , U telles que:0 1 p
{0} =U ⊂U ⊂···U ⊂U =U (A)p p−1 1 0
[U ]⊂U pour tout i∈{0,··· ,p−1}. (B)i i+1
On se propose de montrer le théorème suivant.
Théorème 2 U est une algèbre de Lie résoluble si et seulement s’il existe
−1une matrice P inversible telle que, pour tout M ∈U, P MP est triangulaire
supérieure.
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hhhhhhhSoit P une matrice inversible de M (C) et T l’ensemble des matricesn,n P
−1M ∈M (C) telles que P MP soit triangulaire supérieure.n,n
10 - Traduire la propriété « il existe une matriceP inversible telle que pour
−1tout M ∈ U, P MP est triangulaire supérieure » en une propriété
sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments deU.
11 - Montrer queT est une algèbre de Lie résoluble de longueur n.P
On pourra considérer les sous-espaces N (0≤ k ≤ n) tels que N =k 0
T et pour tout entier k (1 ≤ k ≤ n), N est l’ensemble des ma-P k
−1trices M ∈ T telles que les k diagonales supérieures D (P MP),P 0
−1 −1D (P MP), ..., et D (P MP) sont nulles.1 k−1
Dans les questions 12 à 17, on suppose queU est une algèbre de Lie résoluble
de longueur p = 1.
0 0 012 - Montrer que pour tout M,M ∈U, on a MM =M M.
13 - SoitrunentiernonnuletunefamilleM ,M ,··· ,M d’élémentsdeU.1 2 r
Montrer qu’il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes
M ,M ,··· ,M .1 2 r
14 - Montrer qu’il existe au moins un vecteur propre commun à tous les
endomorphismes{M, M ∈U}.
On note dorénavant:
U ={M, M ∈U}.
nSoit F et H deux espaces supplémentaires de C et u et v deux endomor-
nphismes deC . De plus, on suppose, d’une part, que F est stable par u et v
et, d’autre part, que u et v commutent.
15 - Montrer les relations suivantes:
p u =p up et p v =p vp .H H H H H H
16 - Montrer que p up et p vp commutent puis que p u et p vH H H H H H H H
commutent.
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hhhhhhh17 - En procédant par récurrence sur n, établir le théorème 2 dans le cas
p = 1.
Soit, maintenant,U une algèbre de Lie résoluble de longueur p> 1.
On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur in-
férieure strictement à p, il existe un élément P ∈ M (C), inversible, teln,n
−1que pour toute matrice M dans cette algèbre, P MP soit triangulaire su-
périeure.
18 - Montrer qu’il existe au moins un vecteur propre commun à tous les
endomorphismes M,M ∈U .1
Soit X l’un de ces vecteurs propres. On note E l’espace vectoriel engendré
par X et les éléments de la forme
A ...A X1 k
où k est un entier non nul, A ∈U pour tout j.j
19 - Montrer que E est un espace vectoriel stable par tous les éléments de
U et que tous les éléments de E sont des vecteurs propres communs à
tous les endomorphismes deU .1
0Soit M,M ∈U.
020 - Montrer que [M,M ] est une homothétie de trace nulle.E
21 - Que peut-on en déduire?
Le théorème 2, dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonne-
ments qu’aux questions 14 et 17.
Fin du problème
6
hhhhh