A MATH II PC

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2008 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• mines de nancy


• concours d'admission


• disposition des concours


• constant c1


• x3 ?


• telecom int


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• École nationale supérieure des mines de Nancy
• Telecom SudParis

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

A 2008MATH. IIPC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2008

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Stabilité d’un polynôme trigonométrique

Définition 1. On appelle polynôme trigonométrique toute fonction c de la variable réellexde la forme ∞ X inx c(x) =c n e n=−∞ où les c n sont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux. On appelle degré dec, notédegc, le plus petit entierKtel quec j = 0pour tout|j|> K. On désigne par E l’ensemble des polynômes trigonométriques; on tiendra pour acquis queEest unC-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions. Pour un nombre complexe z , < ( z )représente sa partie réelle et = ( z )sa partie imaginaire.

I Stabilitéd’un polynôme trigonométrique 1. Montrerque l’on définit une norme surEen posant ∞ X kck=|c n | n=−∞ pour toutc∈E.

2. Soitc∈E, établir pour tout entierpde{−degc,∙ ∙ ∙,degc}, l’identité Z π 1 −ipx c p =c(x)edx. 2π −π

3. Montrerque pour toutc∈E, on a sup|c(x)|6kck6(2 degc+ 1) sup|c(x)|. x∈Rx∈R

Définition 2. On dira que le polynôme trigonométrique c est stable lorsque la suite k kckdes normes de ses puissances successives est bornée quandkdécritN.

4. Montrerque s’il existex 0 ∈Rtel que|c(x 0 )|>1alorscn’est pas stable.

Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition |c ( x ) |6 1pour tout réelxn’est pas suffisante pour quecsoit stable. 2

II Unpolynôme trigonométrique particulier Dorénavant, α désigne une constante réelle telle que0 < α < 1et a désigne le polynôme trigonométrique 2 2 a(x) =αcosx−iαsinx+ 1−α . Pour tout entier k> 2, on note a k,n les nombres complexes tels que la puissance k -ième dea(x)s’écrive k X k inx a(x) =a k,n e . n=−k

5. Établir,pour tout réelx, l’identité x 2 24 4 |a(x)|= 1−4(α−α) sin∙ 2 En déduire que a vérifie les propriétés a (0) = 1et |a ( x ) |< 1pour tout x appartenant à]0, π].

6. Donner les développements limités à l’ordre4au voisinage de0des fonctions g et hdéfinies par  ! =(a(x)) 2 g(x) = ln(|a(x)|)eth(x) = arctan. <(a(x))

7. Endéduire que l’on a, au voisinage de0:, la relation suivante   3 24 α−α α−α 3 44 a(x) = exp−iα x+i x−x+o(x). 6 8

Il existe donc trois réels α , β et γ strictement positifs et une fonction ε : [ −π, π ] →C , tendant vers0quand x tend vers0tels que l’on ait, pour tout x dans un voisinage de0,   3 4 a(x) = exp−iαx+iβ x−γx(1 +ε(x)).

1 On admet que la fonction ε est définie et de classe C sur[ −π, π ]. Dans toute la suite, on posera    3 4 d(x) = exp−iαx+iβ xetb(x) = exp−γx(1 +ε(x)),

de sorte quea(x) =d(x)b(x)et|a(x)|=|b(x)|. 3

k III Majorationdes coefficients dea 2 Soit[ r, s ]un segment de longueur non nulle de R , soit f une fonction de classe C 0 sur R à valeurs réelles. On suppose qu’il existe K > 0tel que |f ( t ) |>K pour tout 00 t∈[r, s]et que de plusf(t)>0pour toutt∈[r, s].

8. Montrerl’inégalité

Z 00 s f(t) 2 dt6∙ 02  r (f(t))K

9. Enintégrant par parties l’intégrale Z  s 1 0 f(t) cosf(t)dt, 0 r f(t) établir que Z s 4 cosf(t)dt6∙   r K

Dans les question 10 à 12,[ u, v ]désigne un segment de longueur non nulle de R 2 et f une fonction de classe C sur[ u, v ], à valeurs réelles. On suppose cette fois que 00 f(t)>M >0pour touttappartenant à[u, v]. √ 0 10. Onsuppose quef(u)>0. Établir, sur[u+ 2/ M, v], l’inégalité suivante √ 0 f(t)>2M .

11. Endéduire que

Z v 4 cosf(t)dt6 √ ∙  M u

0 On admettra que le résultat est identique lorsquef(v)60.

0 0 12. On suppose que f ( u ) f ( v ) < 0. Montrer qu’il existe un unique réel w de] u, v [tel 0 quef(w) = 0. En déduire que Z v 8 cosf(t)dt6 √ ∙   M u

4

Dans les questions 13 et 14 , ζ désigne un nombre réel, k un entier naturel non nul etJ k,ζ la fonction définie par Z x 3 J k,ζ (xcos() =ζt+kβt)dt, 0 oùβest le nombre réel non nul défini après la question 7.

−1/3 13. Montrer,pour toutxappartenant à[k ,π], l’inégalité : Z −1/3 x 8k 3 cos(ζt+kβt)dt6 √ ∙  −1/3 k 6β

14. En déduire qu’il existe une constante C 1 > 0, indépendante de ζ et k , telle que pour toutxde[0, π]on ait la relation

−1/3 |J k,ζ (x)|6C 1 k .

On admet que l’on peut démontrer de la mme manière qu’il existe une constante C 2 , indépendante de k et ζ , telle que pour tout x de[0 , π ]:on ait la relation suivante Z x 3−1/3 sin(ζt+kβt)dt6C 2 k .(1)   0

15. Montrer qu’il existe une constante λ > 0telle que pour tout x de[ −π, π ], on ait

4 |b(x)|6exp(−λx).

16. Montrer qu’il existe une constante C 3 > 0telle que pour tout x de[ −π, π ], on ait 03 |b(x)|6C 3 |x|.

17. À l’aide d’une intégration par parties et en utilisant les résultats précédents, montrer qu’il existe une constante C 4 indépendante de n et de k telle que pour tout entier non nulket pour tout entier relatifn:, on ait l’inégalité Z π 0k−1/3 J(x)(b(x))dx6C 4 k .  k,αk+n  −π

5

18. En déduire qu’il existe une constante C 5 > 0indépendante de k et n telle que ∗ pour toutk∈Net pour toutn∈ {−k,∙ ∙ ∙, k},on ait l’inégalité

−1/3 |a k,n |6C 5 k .

On admet dorénavant l’existence d’une constante C 6 > 0telle que, pour tout entier k non nul, Z π 2k−1/4 |a(x)|dx>C 6 k . −π

19. Montrerqu’il existeC 7 >0tel que, pour tout entierk,

k1/12 kak>C 7 k ,

c’est-à-dire quean’est pas stable!

Fin du problème

6