Annee universitaire

Olivier Garet

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Annee universitaire 2010-2011 UNIVERSITE DE NANCY 1 Olivier GARET Modeles probabilistes sur reseaux (Master 2eme annee – cours specialise)

• theoreme de holley


• loi du processus canonique


• famille des evenements invariants


• application aux chaınes de markov


• systeme dynamique


• theoreme du retour


• processus stationnaire

Sujets

• Spécialisation
• Système dynamique
• Processus stationnaire

Informations

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Extrait

Annee

universitaire2010-2011

UNIVERSIT E  DE NANCY 1

Olvier GARET

Mode`lesprobabilistessurerseaux (Master2`emeanene{courssepcialies)

2

Version

du

2

decembre

2010

`a

6:56

i ....... . ................ ...... ................. ............. .......... ........ ......... .............. ... .. .......... .............

2 5

5

Tabledesmatie`res

Tabledesmati`eres 1Tehore`mesergodiques 1.1Definitions.............................1 111 mesures invariantes, fonctions invariantes . 1  112 ergodiciet, melange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4sous-additiviet . 113 1.2Letehor`emeergodiqueetletehor`emeergodiquesous-additif 121 Un lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 122Theor`emedeBirkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 123Theor`emedeKingman..................9 1.2.ehT4reeme`romeditiulemqudigo........snoinnle.11 1.3Applicationauxchna^esdeMarkov...............11 1.3.1Applicationauxchna^esdeMarkov........... 11 1.4Theore`meduretour,syste`meinduit...............15 141Theor`emeduretourdePoincaer.............15 142Syste`meinduit......................16 1.4.ac....emr`eKedT3oe1h . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5Application`alapercolationdepremierpassage........18 2 Couplage, ordre stochastique 2.1Geenraliets............25 211 Ordre stochastique . . . 25 212 Couplage . . . . . . 26 213 Quelques propreiets 27 2.1. contre-exemple4 Un. . . . . . . . . . .29 2.2 Dynamiques markoviennes monotones . . . . 30 2.2.1 Processus de naissance et de mort . . . . 31 2.3Applications`alapercolation.........32 231 Transition de percolation . 32 2.3. 34 . . . . de Russo .2 Formule

1

i

............... .................

ii

Versiondu2decembre2010a`6:56

4 1

Quelques outils utiles 31 L’argument de modification . . 41 32 La technique de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 .qutithe:toesasch’lrurdroteR3sruoann-honmt-ScggteediLe`emero 3 Stacey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4Tehor`emedeHolley{IengalietsFKG 241Theore`medeHolley... 242IengalietFKG..... 2.4.sso3Uneinegalite`alaRu

. 35 . 35 7 3 . . 9 3

3

M12D545LE1MI  5K5L

.................. ............... .............

Chapitre 1

Theore`mesergodiques

1.1Denitions 1.1.1mesuresinvariantes,fonctionsinvariantes Onappellesyst`emedynamiqueunquadruplet(ΩνFνPν Ω(u`)oνFνP) est un espace probabilies etune application mesurable de (ΩνF) qui perserve la mesurePerequa`ide’tsc,

  .

∀ε2 FP(  Λ (ε)=P(ε)µ On dira aussi que la mesurePest invariante par Exemple fondamental : si (K n ) n2>  stationnaire in-est un processus erel deexparI=ZouN, alors ( > νB(R > )νP B ν amynueiq,utsn)semedesy`t R o`uecalageusuel:(stepo’lareruetdedf) n =f n+Λ . On rappelle que si n est l’operateur de projection canonique de projection deR > surR, on a Δ  n =  n et la loi du processus canonique n n2> ousP B est exactement ( ) s la loi du processus (K n ) n2> sousP. Inversement, si (ΩνFνPν etiqueynamemedsnut`tsyse)Tune fonction mesurable quelconque de (ΩνF) dans (RνB(R), le processusT( k k N λ) est 2 stationnaire. Siest inversible, alors le processusT( k λ) k2Z est encore un processus stationnaire. Onditqu’uneevnementεnituarnvese`tsΩ(emtnaiysudνFνPν ) si (ε
   Λ (ε)ntlevauieqeeri`iseu`d,mena0=o,1 ω =1 ω Pp.s.La familledesevenementsinvariantsformeunetribu(laisesenexercice),que l’on note souventI. On dit qu’une application mesurableTde (ΩνF) est invariante siT= Trseapaitnvnranoisn-ctiesfoenst^.uLreesmqeusont exactement les Ppr fonctionsI-mesurables.

P

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